已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1.
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l：與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點。求證: 直線l過定點，并求出該定點的坐標(biāo).

（Ⅰ）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（Ⅱ）直線l過定點，定點坐標(biāo)為

解析試題分析：（Ⅰ）因為橢圓C上的點到焦點距離的最大值為，最小值為.在橢圓中，可求，再根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為求得.
（Ⅱ）聯(lián)立直線l與橢圓方程得的一元二次方程，因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D（2，0），所以,故,可得的關(guān)系式，再由點斜式的直線方程寫出直線l過定點，注意檢驗.
試題解析：（Ⅰ）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
由已知得：

（Ⅱ）設(shè)，聯(lián)立
得，則

又，
因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D（2，0），

當(dāng)，直線過定點（2，0），與已知矛盾；
當(dāng)
所以，直線l過定點，定點坐標(biāo)為
考點：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線與橢圓的位置關(guān)系；3、韋達定理；4、直線的點斜式方程；5、點與圓的位置關(guān)系.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，其左焦點到點的距離為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過右焦點的直線與橢圓交于不同的兩點、，則內(nèi)切圓的圓面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線，為坐標(biāo)原點，動直線與
拋物線交于不同兩點
（1）求證:·為常數(shù)；
（2）求滿足的點的軌跡方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知中心在原點O，焦點在x軸上，離心率為的橢圓過點
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)不過原點O的直線與該橢圓交于P，Q兩點，滿足直線的斜率依次成等比數(shù)列，
求面積的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

曲線在矩陣的變換作用下得到曲線．
（Ⅰ）求矩陣；
（Ⅱ）求矩陣的特征值及對應(yīng)的一個特征向量．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線：．過點的直線交于兩點．拋物線在點處的切線與在點處的切線交于點．

(Ⅰ)若直線的斜率為1，求；
(Ⅱ)求面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，點分別是橢圓C:的左、右焦點，過點作軸的垂線，交橢圓的上半部分于點，過點作的垂線交直線于點.

（1）如果點的坐標(biāo)為（4,4），求橢圓的方程；
（2）試判斷直線與橢圓的公共點個數(shù)，并證明你的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知平面內(nèi)一動點P到點F(1，0)的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于1．
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設(shè)l1與軌跡C相交于點A，B，l2與軌跡C相交于點D，E，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知左焦點為的橢圓過點．過點分別作斜率為的橢圓的動弦，設(shè)分別為線段的中點．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若為線段的中點，求；
（3）若，求證直線恒過定點，并求出定點坐標(biāo)．

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