Question

已知函數(shù)f（x）=ax++c（a、b、c是常數(shù)）是奇函數(shù)，且滿足f（1）=，f（2）=．
（1）求a、b、c的值；
（2）試討論函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（3）試求函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的最小值．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=0，即-ax-+c+ax++c=0，得c=0．
∵f（1）=，f（2）=，
∴a+b=且2a+=，解得a=2，b=．
∴a=2，b=，c=0．
（2）由（1）知，f（x）=2x+，
∴f′（x）=2-=．
∵當x∈（0，）時，f′（x）＜0，當x＞時，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在（0，）上為減函數(shù)，在（，+∞）上為增函數(shù)．
（3）∵函數(shù)f（x）在（0，）上為減函數(shù)，在（，+∞）上為增函數(shù)
∴x=是函數(shù)的極小值點，且f（）是函數(shù)的極小值也是最小值
由此可得，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的最小值為f（）=2．
分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，得c=0．再根據(jù)f（1）=，f（2）=，建立關于a、b的方程組，解之即得a、b的值．
（2）對函數(shù)求導數(shù)，得f′（x）=，再討論導數(shù)的正負，即可得到f（x）在（0，）上為減函數(shù)，在（，+∞）上為增函數(shù)．
（3）根據(jù)（2）的單調(diào)性，不難得到f（x）在（0，+∞）上的最小值為f（）=2．
點評：本題給出含有參數(shù)的分式函數(shù)，在已知函數(shù)為奇函數(shù)的情況下求函數(shù)的解析式，并討論函數(shù)的單調(diào)性，著重考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)等知識，屬于基礎題．