Question

為建設(shè)好長、株、潭“兩型社會(huì)”改革實(shí)驗(yàn)區(qū)，加快二市經(jīng)濟(jì)一體化進(jìn)程，某規(guī)劃部門在三市的交界處擬建一個(gè)大型環(huán)保生態(tài)公園，并在公園入口處的東南方位建造一個(gè)供市民休閑健身的小型綠化廣場，如圖是步行小道設(shè)計(jì)方案示意圖，其中，Ox，Oy分別表示自西向東，自南向北的兩條主干道，設(shè)計(jì)方案是自主干道交匯點(diǎn)O處修一條步行小道，小道為拋物線y=x²的一段，在小道上依次以點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，P(xn，yn)(n≥10，n∈N*)為圓心，修一系列圓型小道，且這些圓型小道與主干道Ox分別于相切于A₁，A₂，…，A_n，…，且任意相鄰的兩圓彼此外切，若x₁=1（單位：百米），且x_n+1＜x_n．
（1）記⊙P₁，⊙P₂，…，⊙P_n，…的半徑r_n組成的數(shù)列為{r_n}，求通項(xiàng)公式r_n；
（2）若修建這些圓形小道工程預(yù)算總費(fèi)用為50萬元，根據(jù)以往施工經(jīng)驗(yàn)可知，面積為S的圓形小道的實(shí)際施工費(fèi)用為10

πS

萬元，試問修建好前n（n≥10，n∈N^*）個(gè)圓型小道，預(yù)算費(fèi)用是否夠用，請(qǐng)說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)⊙P_n的半徑rn=yn=

x

2 n

，面積為S_n，根據(jù)兩圓相切，圓心距等于兩圓半徑和，可得{

1

xn

}的首項(xiàng)為l，公差為2的等差數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列{a_n}和{r_n}的通項(xiàng)公式，
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，利用裂項(xiàng)相消法可以求出前n個(gè)圓型小道的施工總費(fèi)用時(shí)為T_n，比較后可得結(jié)論．

解答：解：（1）依題設(shè)⊙P_n的半徑rn=yn=

x

2 n

，面積為S_n
∵⊙P_n與⊙P_n+1彼此相切，
∴|P_nP_n+1|=r_n+r_n+1
∴

(xn-xn+1)2+(yn-yn+1)2

=yn+yn+1，
兩邊平方，并整理得(xn-xn+1)2=4

x

2 n

x

2 n+1

又x_n＞x_n+1＞0，
∴x_n-x_n+1=2x_nx_n+1，
∴

1

xn+1

-

1

xn

=2
∴{

1

xn

}的首項(xiàng)為l，公差為2的等差數(shù)列，
∴

1

xn

=1+(n-1)•2=2n-1
∴xn=

1

2n-1

，
∴rn=

1

(2n-1)2

(n∈N*)
（2）設(shè)前n個(gè)圓型小道的施工總費(fèi)用時(shí)為T_n
∵Sn=π

r

2 n

=π

x

4 n

=

π

(2n-1)4

∴Tn=10(

πs1

+

πs2

+…+

πsn

)=10π(

1

12

+

1

32

+…+

1

(2n-1)2

)≤10π(1+

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-3)(2n-1)

)=10π[1+

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-3

-

1

2n-1

)]=10π(

3

2

-

1

4n-2

)＜15π＜50
故修建這些圓形小道工程預(yù)算費(fèi)用夠用．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列求和，是數(shù)列問題的綜合應(yīng)用，熟練掌握求數(shù)列通項(xiàng)和數(shù)列求和的方法是解答的關(guān)鍵．