已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x,y∈R,都有f(xy)=f(x)+f(y),且x>0時(shí),f(x)<0,f(1)=-2.

(1)求證f(x)是奇函數(shù);

(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.


解析 (1)證明 令xy=0,知f(0)=0;再令y=-x

f(0)=f(x)+f(-x)=0,所以f(x)為奇函數(shù).

(2)任取x1x2,則x2x1>0,所以f(x2x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)<0,所以f(x)為減函數(shù).而f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6.

所以f(x)maxf(-3)=6,f(x)minf(3)=-6.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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若實(shí)數(shù)a,b滿足a≥0,b≥0,且ab=0,則稱ab互補(bǔ).記φ(a,b)=ab,那么φ(a,b)=0是ab互補(bǔ)的(  ).

A.必要而不充分的條件                              B.充分而不必要的條件

C.充要條件                                        D.既不充分也不必要的條件

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函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(-1)=2,對(duì)任意x∈R,f′(x)>2,則f(x)>2x+4的解集為(  ).

A.(-1,1)                                         B.(-1,+∞)

C.(-∞,-1)                                     D.(-∞,+∞)

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已知定義在R上的奇函數(shù),f(x)滿足f(x+2)=-f(x),則f(6)的值為

(  ).

A.-1            B.0              C.1              D.2

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若函數(shù)f(x)=(a為常數(shù))在定義域上為奇函數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為________.

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設(shè)f(x)=f(f(5))=(  ).

A.-1            B.1             C.-2            D.2

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若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的兩根中,一根在0和1之間,另一根在1和2之間,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.

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2

解析 g(x)上的點(diǎn)P(a,1)關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)P′(2-a,1)應(yīng)在f(x)=ax上,

∴1=aa-2.∴a-2=0,即a=2.

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若函數(shù)f(x)=x2mx+1有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (  )

A.(-1,1)                                  B.(-2,2)

C.(-∞,-2)∪(2,+∞)                   D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

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