Question

（理科）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠0}，值域為R且同時滿足下列條件：
（1）對于任意非零實數(shù)x₁，x₂，都有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）；
（2）對于任意正數(shù)x₁，x₂，且x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．
出符合上述條件的一個函數(shù)f（x）

=log₂|x|（答案不唯一）

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，聯(lián)系常見的函數(shù)，分析條件（1），有數(shù)函數(shù)符合f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），分析（2）可得，f（x）為增函數(shù)，綜合（1）、（2）可得f（x）的底數(shù)大于1的對數(shù)函數(shù)，據(jù)此即可寫出答案．

解答：解：根據(jù)題意，
對于（1），要求函數(shù)的滿足f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）的運算律，分析可得對數(shù)函數(shù)符合，
對于（2），若

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，則f（x）在正實數(shù)集上為增函數(shù)，
對于對數(shù)函數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時，為增函數(shù)，
則符合條件（1）（2）的為底數(shù)大于1的對數(shù)函數(shù)，如y=log₂|x|，y=log₃|x|，y=lg|x|，等
故答案為log₂|x|，（答案不唯一，只要為底數(shù)大于1的對數(shù)函數(shù)即可）

點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是開放性題目，關(guān)鍵是由f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）分析出該函數(shù)與對數(shù)函數(shù)有關(guān)．