Question

9．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）和拋物線y²=2px（p＞0）相交于A、B兩點，直線AB過拋物線的焦點F₁，且|AB|=8，橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（I）求橢圓和拋物線的標準方程；
（Ⅱ）是否存在過（-2，0）與拋物線相切且被橢圓截得的弦CD的長恰為$\frac{20\sqrt{2}}{3}$的直線，若不存在．請說明理由；若存在，請求出直線方程．

Answer 1

分析 （I）由題意可得拋物線的通徑為8，由此求得p值，則拋物線方程可求；再由橢圓離心率化橢圓方程為x²+2y²-2b²=0．把A的坐標代入橢圓方程求得b值，進一步得到a值，則橢圓標準方程可求；
（Ⅱ）假設(shè)存在滿足條件的直線l，設(shè)出直線方程y=kx+2k，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，由判別式等于0求得k值，得到直線方程，再與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式求得弦長為$\frac{20\sqrt{2}}{3}$，說明存在過（-2，0）與拋物線相切且被橢圓截得的弦CD的長恰為$\frac{20\sqrt{2}}{3}$的直線．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知，AB為拋物線y²=2px（p＞0）的通徑．
即2p=8，∴p=4．
則拋物線方程為y²=8x；
∴F₁（2，0），則A（2，4）．
由橢圓的離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，即$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，∴a²=2b²．
則橢圓方程為x²+2y²-2b²=0．
∵A在橢圓上，∴2²+2×4²-2b²=0，解得b²=18，
∴a²=2b²=36．
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{18}=1$；
（Ⅱ）由題意，假設(shè)存在過（-2，0）與拋物線相切且被橢圓截得的弦CD的長恰為$\frac{20\sqrt{2}}{3}$的直線，
設(shè)直線方程為y=kx+2k．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2k}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，消去y得：k²x²+（4k²-8）x+4k²=0．
由△=（4k²-8）²-16k⁴=0，解得：k=±1．
當k=1時，則直線方程為y=x+2．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{18}=1}\end{array}\right.$，消去y得：3x²+8x-28=0．
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8}{3}，{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{28}{3}$．
∴|CD|=$\sqrt{2}\sqrt{（-\frac{8}{3}）^{2}+4×\frac{28}{3}}$=$\frac{20\sqrt{2}}{3}$．
同理可得，y=-x+2滿足題意．
故存在過（-2，0）與拋物線相切且被橢圓截得的弦CD的長恰為$\frac{20\sqrt{2}}{3}$的直線，直線方程為y=±x+2．

點評 本題考查橢圓方程和拋物線方程的求法，關(guān)鍵是清楚圓錐曲線的對稱性，考查了拋物線通徑的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用弦長公式求弦長，是中檔題．