Question

【題目】已知是拋物線上三個不同的點(diǎn)，且.

（Ⅰ）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）若拋物線上存在點(diǎn)，使得線段總被直線平分，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）首先根據(jù)點(diǎn)在拋物線上求得的值，然后設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而根據(jù)存在斜率的兩直線垂直斜率乘積為，求得點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）首先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用斜率公式求得直線恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo)，由此寫出直線的方程，并代入拋物線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而根據(jù)線段總被直線平分求得點(diǎn)的坐標(biāo).

解：（Ⅰ）在拋物線上，.

設(shè)，則由，得，

解得，即；

（Ⅱ）設(shè)，

則直線的方程為，

由，

得，

代入直線的方程，

得，

故直線恒過點(diǎn)，所以，

因此直線的方程為，

代入拋物線的方程，

得，，

所以，

故點(diǎn)的坐標(biāo)為.

因?yàn)榫�段被直線平分，

所以

解得，

即點(diǎn)的坐標(biāo)為.