Question

15．已知過(guò)拋物線C：y²=2x的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)．若a•|AF|=1，b•|BF|=1，則$\frac{{a}^{2}+2}{a}+\frac{^{2}}{b+1}$的最小值為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$+2．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，a=$\frac{1}{|AF|}$，b=$\frac{1}{|BF|}$，所以，a+b=$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{2}{p}$=2，化簡(jiǎn)$\frac{{a}^{2}+2}{a}+\frac{^{2}}{b+1}$，利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：根據(jù)題意，a=$\frac{1}{|AF|}$，b=$\frac{1}{|BF|}$，
所以，a+b=$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{2}{p}$=2（定值），因此，
原式=a+$\frac{2}{a}$+$\frac{（b+1）^{2}-2（b+1）+1}{b+1}$=1+$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b+1}$=1+$\frac{1}{3}$（a+b+1）（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b+1}$）≥$\frac{2\sqrt{2}}{3}$+2．
即原式的最小值為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$+2．
故答案為：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的性質(zhì)，考查基本不等式的運(yùn)用，正確運(yùn)用“1”的代換是關(guān)鍵．