已知函數(shù) .

（1）若 的極小值為1，求a的值.

（2）若對任意 ，都有 成立，求a的取值范圍.

 

【答案】

（1） （2） 

【解析】

試題分析：（1）先求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求出存在極小值的條件，然后求解即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)的求出函數(shù)的單調(diào)性，然后在求出函數(shù)在上的極小值，可得極小值大于等于1，解之即可.

試題解析：（1）因為，所以

當(dāng)a≤0時，，所以在定義域（0，+∞上單調(diào)遞減，不存在極小值；

當(dāng)a>0時，令，可得  ，當(dāng) 時，有， 單調(diào)遞減；當(dāng)時，由， 單調(diào)遞增，

所以是函數(shù)的極小值點，故函數(shù)的極小值為，解得.

（2）由（1）可知，當(dāng)a≤0時，在定義域（0，+∞上單調(diào)遞減，且在x=0附近趨于正無窮大，而，由零點存在定理可知函數(shù)在（0,1]內(nèi)存在一個零點，不恒成立；

當(dāng)a>0時，若恒成立，則，即a≥1，

結(jié)合（1）a≥1時，函數(shù)在（0,1]內(nèi)先減后增，要使恒成立，則的極小值大于或等于1成立，所以 即，可得，綜上可得.

考點：1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)由不等式恒成立問題求出參數(shù).

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1-x2
+
x2-1
的定義域是（　　）
A、[-1，1]
B、{-1，1}
C、（-1，1）
D、（-∞，-1]∪[1，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
(1-b)x+b，x＜0
(b-3)x2+2，x≥0
，在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，則實數(shù)b的范圍為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=1-
a
x
，g(x)=
lnx
x
，且函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+y+3=0垂直．
（I）求a的值；
（II）如果當(dāng)x∈（0，1）時，t•g（x）≤f（x）恒成立，求t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=
1
x+1
的定義域為集合A，集合B=（-2，+∞），則集合（CRA）∩B=（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

請考生注意：重點高中學(xué)生做（2）（3）．一般高中學(xué)生只做（1）（2）．
已知函數(shù)f(x)=(1-a)x-lnx-
a
x
-1(a∈R)
（1）若曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，求a的值；
（2）當(dāng)a＞0時，討論f（x）的單調(diào)性；
（3）當(dāng)a=
3
4
時，設(shè)g（x）=x2-bx+1，若對任意x1∈（0，2]，都存在x2∈（0，2]，都存在x2∈[1，2]使f（x1）≤g（x2），求實數(shù)b的取值范圍．

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