Question

17．若直角坐標平面內(nèi)的兩個不同點M，N滿足條件：
①M，N都在函數(shù)y=f（x）的圖象上； ②M，N關于y軸對稱．則稱點對[M，N]為函數(shù)y=f（x）的一對“友好點對”．（注：點對[M，N]與[N，M]為同一“友好點對”）已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{3}x|（x＞0）}\\{|{x}^{2}+4x|（x≤0）}\end{array}\right.$，則此函數(shù)的“友好點對”有3對．

Answer 1

分析 根據(jù)題意：“友好點對”，可知，欲求f（x）的“友好點對”，只須作出函數(shù)y=|x²+4x|（x≤0）的圖象關于y軸對稱的圖象，看它與函數(shù)f（x）=|log₃x|（x＞0）交點個數(shù)即可．

解答 解：根據(jù)題意：當x＞0時，-x＜0，
則f（-x）=|（-x）²+4（-x）|=|x²-4x|，
則函數(shù)y=|x²+4x|（x≤0）的圖象關于y軸對稱的函數(shù)是y=|x²-4x|（x≥0），
由題意知，作出函數(shù)y=|x²-4x|（x≥0）的圖象及函數(shù)f（x）=|log₃x|（x＞0）的圖象，
如下圖所示：

由圖可得兩個函數(shù)圖象共有三個交點
即f（x）的“友好點對”有：3個．
故答案為：3．

點評 本題主要考查了奇偶函數(shù)圖象的對稱性，以及數(shù)形結合的思想，解答的關鍵在于對“友好點對”的正確理解，合理地利用圖象法解決．