Question

已知f(x)=2^x+,

(1)證明函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù);

(2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.

Answer 1

(1)設(shè)-1＜x₁＜x₂,

則f(x₁)-f(x₂)=(2x₁+)－＝

＝

∵y=2^x是增函數(shù),且x₁＜x₂,

∴,即 又x₁-x₂＜0,x₁+1＞0,x₂+1＞0,

∴f(x₁)-f(x₂)＜0,即f(x₁)＜f(x₂).

故f(x)是(-1,+∞)上的增函數(shù).

(2)假設(shè)存在x₀＜0,使f(x₀)=0,則=-,

∴0＜＜1.

∴0＜-＜1.

解得＜x₀＜2,與假設(shè)x₀＜0矛盾.故方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.