Question

對(duì)于數(shù)列{a_n}，定義數(shù)列{a_n+1-a_n}為{a_n}的“差數(shù)列”．
（I）若{a_n}的“差數(shù)列”是一個(gè)公差不為零的等差數(shù)列，試寫出{a_n}的一個(gè)通項(xiàng)公式；
（II）若a₁=2，{a_n}的“差數(shù)列”的通項(xiàng)為2ⁿ，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（III）對(duì)于（II）中的數(shù)列{a_n}，若數(shù)列{b_n}滿足a_nb_nb_n+1=-21•2⁸（n∈N^*），且b₄=-7．
求：①數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；②當(dāng)數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)的積最大時(shí)n的值．

Answer 1

（Ⅰ）如a_n=n²．（答案不惟一，結(jié)果應(yīng)為a_n=An²+Bn+C的形式，其中A≠0）（3分）
（Ⅱ）依題意a_n+1-a_n=2ⁿ，n=1，2，3，
所以a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+（a_n-2-a_n-3）++（a₂-a₁）+a₁=2^n-1+2^n-2+2^n-3++2=2ⁿ．（5分）
從面{a_n}是公比數(shù)為2的等比數(shù)列，
所以Sn=

2(1-2n)

1-2

=2n+1-2.（7分）
（Ⅲ）由a_nb_nb_n+1=-21•2ⁿ及a_n-1b_n-1b_n=-21•2ⁿ，兩式相除得

bn+1

bn-1

=

1

2

，
所以數(shù)列{b_2n-1}，{b_2n}分別是公比為

1

2

的等比數(shù)列
由b₄=-7得b₂=-14．
令n=1，由a₁b₁b₂=-21•2ⁿ得b₁=3•2⁶．
所以數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)為bn=

3•26•( 1 2 ) n-1 2 (n≥1，且n是奇數(shù)) -14•( 1 2 ) n 2 -1(n≥2，且n是偶數(shù))

（10分）
②記數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)的積為T_n．
令|bnbn+1|＜1，得|-2|•(

1

2

)n-8|＜1，
即(

1

2

)n-1＜

1

21

，解得n≥13.
所以當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，|b₁b₂|＞1，|b₃b₄|＞1，，|b₁₁b₁₂|＞1，|b₁₃b₁₄|＜1，|b₁₅b₁₆|＜1，
從而|T₂|＜|T₄|＜|T₁₂|，|T₁₂|＞|T₁₄|＞．
當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，|b₂b₃|＞1，|b₄b₅|＞1，，|b₁₂b₁₃|＞1，|b₁₄b₁₅|＜1，|b₁₆b₁₇|＜1，
從而|T₁|＜|T₃|＜|T₁₃|，|T₁₃|＞|T₁₅|．
注意到T₁₂＞0，T₁₃＞0，且T₁₃=b₁₃T₁₂=3T₁₂＞T₁₂，
所以當(dāng)數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)的積T_n最大時(shí)n=13．（14分）