已知函數(shù)f（x）=
a+lnx
x
（a∈R）．
（Ⅰ）若a=4，求曲線f（x）在點（e，f（e））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的極值．
考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值
專題：導數(shù)的綜合應用
分析：（Ⅰ）若a=4，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求曲線f（x）在點（e，f（e））處的切線方程；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)極值和導數(shù)之間的關系即可求f（x）的極值．
解答： 解：（Ⅰ）∵a=4，
∴f（x）=
a+lnx
x
=
4+lnx
x
，則f（e）=
5
e
．
又∵f′（x）=
-3-lnx
x2
，
∴f′（e）=
-3-lne
e2
=-
4
e2
，
∴f（x）在點（e，f（e））處的切線方程為：y-
5
e
=-
4
e2
(x-e)，
即4x+e2y-9e=0． 
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
函數(shù)的導數(shù)為f′（x）=
1-(lnx+a)
x2
，由f′（x）＞0得0＜x＜e1-a，此時函數(shù)單調遞增，
由f′（x）＜0得x＞e1-a，此時函數(shù)單調遞減，
∴當x=e1-a時，函數(shù)f（x）取得極大值f（e1-a）=ea-1．
點評：本題主要考查函數(shù)的切線方程以及函數(shù)的極值，要求熟練掌握函數(shù)導數(shù)的應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（1+
1
tanx
，msin（x+
π
4
）），
b
=（sin2x，sin（x-
π
4
）），記函數(shù)f（x）=
a
•
b
，求：
（1）當m=0時，求f（x）在區(qū)間[
π
8
，
3π
4
]上的值域；
（2）當tanα=2時，f（α）=
3
5
，求m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx+
x2
2
-kx（k為常數(shù)）
（1）試討論f（x）的單調性；
（2）若f（x）存在極值，求f（x）的零點個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知
e1
，
e2
是兩個不共線的向量，
a
=2
e1
-
e2
，
b
=k
e1
+
e2
，若
a
與
b
是平行向量，求實數(shù)k的值；
（2）如圖，
OA
=
a
，
OB
=
b
，
①設點P，Q是線段AB的三等分點，試用
a
，
b
表示向量
OP
+3
OQ
；
②設點A1，A2，…，A2012是線段AB的2013等分點，試用
a
，
b
表示向量
OA1
+
OA2
+…+
OA2012
（直接寫出結果）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

命題p：不等式|x-1|+|x-3|＞a對一切實數(shù)x都成立；命題q：函數(shù)f（x）=x3+2x2在[a，a+1]上單調遞減．若命題p或q為真，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=sin2x+2sin2x．
（I）求f（
π
4
）的值；
（Ⅱ）設θ∈（0，π），f（
θ
2
）=
4
5
，求tanθ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點A為圓（x+1）2+y2=8的圓心，P是圓上的動點，點M在圓的半徑AP上，且有點B（1，0）和BP上的點N，滿足
MN
•
BP
=0，
BP
=2
BN
．
（Ⅰ）當點P在圓上運動時，求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）若直線y=kx+
k2+1
（k＞0）與（Ⅰ）中所求的點M的軌跡交于不同的兩點F和H，O為坐標原點，且
2
3
≤
OF
•
OH
≤
3
4
，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足
3
csinA=acosC
（1）求角C的大��；
（2）求cosA+sinB的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調增函數(shù)，若f（1）＜f（log3x），則實數(shù)x的取值范圍為
 
．

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