Question

15．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸是短軸的兩倍，點(diǎn)P（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）在橢圓上．不過原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)直線OA、l、OB的斜率分別為k₁、k、k₂，且k₁、k、k₂恰好構(gòu)成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求橢圓C的方程．
（Ⅱ）試探究|OA|²+|OB|²是否為定值？若是，求出這個(gè)值；否則求出它的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過將點(diǎn)A（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）代入橢圓方程可知$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{4b}^{2}}$=1，結(jié)合a=2b計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）記A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），通過設(shè)直線l的方程為y=kx+m，并與橢圓方程聯(lián)立可知x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$、x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，通過k²=k₁k₂計(jì)算可知k=±$\frac{1}{2}$，進(jìn)而化簡(jiǎn)可知x₁+x₂=±2m、x₁x₂=2m²-2，利用完全平方公式化簡(jiǎn)計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知a=2b，且$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{4b}^{2}}$=1，
解得：b²=1，a=2，
所以橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，消去y整理得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
則△=16（1+4k²-m²）＞0，x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∵k₁、k、k₂恰好構(gòu)成等比數(shù)列，
∴k²=k₁k₂=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
即k²=k²+$\frac{-8{k}^{2}{m}^{2}}{4{m}^{2}-4}$+$\frac{{m}^{2}（1+4{k}^{2}）}{4{m}^{2}-4}$，
化簡(jiǎn)得：-4k²m²+m²=0，
∵m≠0，
∴k²=$\frac{1}{4}$，k=±$\frac{1}{2}$，
此時(shí)△=16（2-m²）＞0，即m∈（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
∴x₁+x₂=±2m，x₁x₂=2m²-2，
故|OA|²+|OB|²=${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$+${{y}_{2}}^{2}$
=$\frac{3}{4}$（${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$）+2
=$\frac{3}{4}$[$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁x₂]+2
=5，
于是|OA|²+|OB|²是定值為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．