已知棱長為1的正方體AC1，E、F分別是B1C1、C1D的中點(diǎn)．
（1）求證：E、F、D、B共面；
（2）求點(diǎn)A1到平面的BDEF的距離；
（3）求直線A1D與平面BDEF所成的角．

解：（1）∵EF∥D1B1，BD∥D1B1，∴BD∥EF，∴EF，BD兩直線共面，E、F、D、B共面
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則D（0，0，0）B（1，1，0）E（ ，1，1）A1（1，0，1）
=（1，1，0），=（ ，1，1）設(shè)平面BDEF的一個(gè)法向量為=（x，y，z）
則即取x=2得量為=（2，-2，1）
=（1，0，1）
點(diǎn)A1到平面的BDEF的距離即為在法向量方向上投影的絕對值即h===1
（3）設(shè)直線A1D與平面BDEF所成的角為θ，則sinθ===
θ=arcsin．
分析：（1）先證BD∥EF，通過EF，BD兩直線共面，得E、F、D、B共面；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BDEF的一個(gè)法向量，點(diǎn)A1到平面的BDEF的距離即為在法向量方向上投影的絕對值；
（3）直線A1D與平面BDEF所成的角的θ正弦值等于h與A1D長度的比值．
點(diǎn)評：本題考查平面的基本性質(zhì)，線面角，點(diǎn)面距的計(jì)算，考查空間想象、計(jì)算能力．利用向量的數(shù)量積可減少思維難度．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，直線BD與平面A1BC1所成角的余弦值為
 
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是B1C1和C1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)A1到平面DBEF的距離
1
1
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•朝陽區(qū)二模）已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱BB1，DD1上的動點(diǎn)，且BE=D1F=λ(0＜λ≤
1
2
)．設(shè)EF與AB所成的角為α，與BC所成的角為β，則α+β的最小值（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1．
（1）線段A1B上是否存在一點(diǎn)P，使得A1B⊥平面PAC？若存在，確定P點(diǎn)的位置，若不存在，說明理由；
（2）點(diǎn)P在A1B上，若二面角C-AP-B的大小是arctan2，求BP的長；
（3）Q點(diǎn)在對角線B1D，使得A1B∥平面QAC，求
B1QQD
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，O為底ABCD對角線的交點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A1C⊥平面AB1D1； 
（Ⅱ）求A1到平面AB1D1的距離．

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