Question

已知菱形ABCD的邊長為2，對角線AC與BD交于點O，且∠ABC=120°，M為BC的中點．將此菱形沿對角線BD折成二面角A-BD-C．
（ I）求證：面AOC⊥面BCD；
（ II）若二面角A-BD-C為60°時，求直線AM與面AOC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（ I）由四邊形ABCD為菱形，可得OA⊥BD，OC⊥BD，再根據(jù)線面垂直的判定定理可得線面垂直．
（ II）由題意可得：∠AOC是二面角A-BD-C的平面角，即∠AOC=60°，作MK⊥OC，連接AK，可得MK⊥面AOC，所以∠MAK是直線AM與面AOC所成的角，由題意可得：OK=

3

2

，在△AOK中，利用余弦定理可得：AK=

3

2

，在Rt△AMK中，再利用解三角形的有關知識求出答案即可．

解答：解：（ I）證明：因為四邊形ABCD為菱形，
所以OA⊥BD，OC⊥BD，
所以

AO⊥BD CO⊥BD AO∩CO=O

⇒

BD⊥面AOC BD⊆面BCD

⇒面AOC⊥面BCD…（6分）
（ II）菱形沿對角線BD折成二面角A-BD-C后，仍然有AO⊥BD，CO⊥BD，
∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角，即∠AOC=60°…（8分）
作MK⊥OC，連接AK，如圖所示：

因為MK∥BD，BD⊥面AOC，
所以MK⊥面AOC，
所以∠MAK是直線AM 與面AOC所成的角                  …（10分）
因為菱形ABCD的邊長為2，對角線AC與BD交于點O，且∠ABC=120°，
所以OC=AO=

3

，BD=

3

．
又因為MK⊥OC，M為BC的中點，
所以K為OC的中點，
所以OK=

3

2

，
所以在△AOK中，因為∠AOC=60°，
所以AK2=AO2+OK2-2AO•OK•cos∠AOK=

9

4

，所以AK=

3

2

．
在Rt△AMK中，
∵AK=

3

2

，MK=

1

2

BO=

1

2

，
∴AM=

10

2

，
∴cos∠MAK=

AK

MA

=

3

10

=

3 10

10

，
∴直線AM 與面AOC所成角的余弦值是

3 10

10

…（14分）

點評：本題主要考查面面垂直的判定定理，以及線面角的有關知識，而對于求空間角作出空間角是解題的難點和關鍵，求空間角的步驟是：作角、證角、求角．