Question

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，在正方形及其內(nèi)部任選一點(diǎn)P（在正方形及其內(nèi)部點(diǎn)的選取都是等可能的），作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，矩形PMAN的面積為S．
（1）請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)P（x，y），寫(xiě)出x，y滿足的條件，并作出滿足S≤1的P點(diǎn)的區(qū)域；
（2）求S≤1的概率．

Answer 1

分析：（1）分別以AB、AD為x軸、y軸，建立直角坐標(biāo)系．根據(jù)矩形的面積公式得P坐標(biāo)為（x，y）時(shí)，S=xy≤1對(duì)應(yīng)的區(qū)域在曲線y=

1

x

的下方、且在正方形內(nèi)部的部分．由此可得相應(yīng)的不等式組并作出圖形如圖所示．
（2）根據(jù)定積分的幾何意義，利用積分計(jì)算公式算出陰影部分面積為ln4+1，結(jié)合正方形ABCD的面積為4利用幾何概型計(jì)算公式，即可算出S≤1的概率．

解答：解：（1）以直線AB為x軸，AD為y軸，A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．-------（1分）
∵點(diǎn)P（x，y）在正方形及其內(nèi)部，
∴S=xy（0≤x≤2，0≤y≤2）．-----------（3分）
故滿足滿足S≤1的P（x，y）點(diǎn)滿足的條件是

0≤x≤2 0≤y≤2 xy≤1

-----------（5分）
P點(diǎn)的區(qū)域如右圖所示．-----------------------（7分）
（2）P點(diǎn)所在的區(qū)域面積為
S=2

∫

2 1

1

x

dx+1×1=2(lnx)

|

2 1

 +1=2ln2+1=ln4+1，-------（12分）
∵正方形ABCD的面積為S'=4，
∴滿足S≤1的概率為P=

S

S′

=

ln4+1

4

．------------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了不等式組表示的平面區(qū)域、定積分的幾何意義與積分計(jì)算公式和幾何概型計(jì)算公式等知識(shí)，屬于中檔題．