Question

我們給出如下定義：對函數(shù)，若存在常數(shù)（），對任意的，存在唯一的，使得，則稱函數(shù)為“和諧函數(shù)”，稱常數(shù)為函數(shù)的 “和諧數(shù)”.

（Ⅰ）判斷函數(shù)是否為“和諧函數(shù)”？答：       . 是（填“是”或“否”）如果是，寫出它的一個“和諧數(shù)”：           .

（Ⅱ）請先學習下面的證明方法：

證明：函數(shù)，為“和諧函數(shù)”，是其“和諧數(shù)”；

證明過程如下：對任意，令，即，

得.∵  ，∴.

即對任意，存在唯一的，使得 .

∴為“和諧函數(shù)”，其“和諧數(shù)”為.

參照上述證明過程證明：函數(shù)為“和諧函數(shù)”，是其“和諧數(shù)”；

[證明]：

（III）判斷函數(shù)是否為和諧函數(shù)，并作出證明.

Answer 1

解： (1)是，C=2

（2）對任意，令，即，得，

.∵  ，∴  ，.

即對任意，存在唯一的，使得 .

∴ 為“和諧函數(shù)”，是其“和諧數(shù)”.

（3）對任意的常數(shù)，

ⅰ)若，則對于，顯然不存在，使得成立，

所以不是函數(shù)的和諧數(shù)；-

ⅱ) 若，則對于，由得，，

即不存在，使成立.

所以也不是函數(shù)的和諧數(shù).  

綜上所述，函數(shù)不是“和諧函數(shù)”.

{或者借助唯一來否定也可，按步驟酌情給分。}