(文)設(shè)函數(shù)y=f(x)=x(x-a)(x-b)(a、b∈R).
(Ⅰ)若a≠b,ab≠0,過兩點(0,0)、(a,0)的中點作與x軸垂直的直線,此直線與函數(shù)y=f(x)的圖象交于點P(x0,f(x0)),求證:函數(shù)y=f(x)在點P處的切 線過點(
4
3
3
,0);
(Ⅱ)若a=b(a≠0),且當(dāng)x∈[0,|a|+1]時f(x)<2a2恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
(I)證明:過兩點(0,0)、(a,0)的中點作與x軸垂直的直線方程為x=
a
2

P(
a
2
,
a2
4
(b-
a
2
))
,…(1分)
y'=3x2-(2a+2b)x+ab,…(2分)
所求切線斜率為3(
a
2
)2-(2a+2b)•
a
2
+ab=-
a2
4
,…(3分)
切線方程為y-
a2
4
(b-
a
2
)=-
a2
4
(x-
a
2
),令y=0,解得x=b
,
所以,函數(shù)y=f (x)過點P的切線過點(b,0)…(5分)
(II)因為a=b,所以y=f(x)=x(x-a)2,
y′=3x2-4ax+a2=3(x-a)(x-
a
3
)
,…(6分)
當(dāng)a>0時,函數(shù)y=f(x)在(-∞,
a
3
)
上單調(diào)遞增,在(
a
3
,a)單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增.
所以,根據(jù)題意有
4
27
a3<2a2
a+1<2a2

解之得1<a<
27
2
或a<-
1
2
,結(jié)合a>0,所以1<a<
27
2
…(9分)
當(dāng)a<0時,函數(shù)y=f(x)在(
a
3
,+∞)
單調(diào)遞增.                  …(10分)
所以,根據(jù)題意有f(1-a)<2a2,…(11分)
即(1-a)(1-a-a)2<2a2,整理得4a3-6a2+5a-1>0,(*)
令g(a)=4a3-6a2+5a-1,∴g′(a)=12a2-12a+5=12(a-
1
2
)2+2>0

∴g(a)在區(qū)間(-∞,0)單調(diào)遞增,又g(0)=-1<0,所以“*”不等式無解.…(13分)
綜上可知:1<a<
27
2
.                               …(15分)
練習(xí)冊系列答案
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(文)設(shè)函數(shù)y=f(x)=x(x-a)(x-b)(a、b∈R).
(Ⅰ)若a≠b,ab≠0,過兩點(0,0)、(a,0)的中點作與x軸垂直的直線,此直線與函數(shù)y=f(x)的圖象交于點P(x0,f(x0)),求證:函數(shù)y=f(x)在點P處的切 線過點(
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,0);
(Ⅱ)若a=b(a≠0),且當(dāng)x∈[0,|a|+1]時f(x)<2a2恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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(文)設(shè)函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)是y=f-1(x),且函數(shù)y=f(x)過點P(2,-1),則f-1(-1)=______.

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(文)設(shè)函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)是y=f-1(x),且函數(shù)y=f(x)過點P(2,-1),則f-1(-1)=   

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