Question

設函數(shù)g（x）=

1

3

x3+

1

2

ax2-bx（a，b∈R），在其圖象上一點P（x，y）處的切線的斜率記為f（x）．
（1）若方程f（x）=0有兩個實根分別為-2和4，求f（x）的表達式；
（2）若g（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)，求a²+b²的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出f（x）=g'（x），再根據(jù)-2、4是方程f（x）=0的兩個實數(shù)，由韋達定理建立方程組，解之即可；
（2）根據(jù)g（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)減函數(shù)，得到函數(shù)g（x）在區(qū)間[-1，3]上恒有f（x）=g'（x）≤0，然后建立關于a和b的約束條件，而a²+b²可視為平面區(qū)域

a+b≥1 b-3a≥9

內(nèi)的點到原點距離的平方，其中點（-2，3）距離原點最近，從而求出a²+b²的最小值．

解答：解：（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義知f（x）=g'（x）=x²+ax-b
由已知-2、4是方程x²+ax-b=0的兩個實數(shù)
由韋達定理，

-2+4=-a -2×4=-b

∴

a=-2 b=8

，f（x）=x²-2x-8（7分）
（2）g（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)減函數(shù)，
所以在[-1，3]區(qū)間上恒有f（x）=g'（x）=x²+ax-b≤0，即f（x）=x²+ax-b≤0在[-1，3]恒成立
這只需滿足

f(-1)≤0 f(3)≤0

即可，也即

a+b≥1 b-3a≥9

而a²+b²可視為平面區(qū)域

a+b≥1 b-3a≥9

內(nèi)的點到原點距離的平方，其中點（-2，3）距離原點最近，
所以當

a=-2 b=3

時，a²+b²有最小值13．（14分）

點評：本題主要考查了導數(shù)的幾何意義，以及線性規(guī)劃的應用等基礎知識，考查靈活運用數(shù)形結(jié)合的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力，屬于中檔題．