Question

乒乓球臺(tái)面被網(wǎng)分成甲、乙兩部分，如圖，甲上有兩個(gè)不相交的區(qū)域A，B，乙被劃分為兩個(gè)不相交的區(qū)域C，D，某次測試要求隊(duì)員接到落點(diǎn)在甲上的來球后向乙回球，規(guī)定：回球一次，落點(diǎn)在C上記3分，在D上記1分，其它情況記0分．對落點(diǎn)在A上的來球，小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為

1

2

，在D上的概率為

1

3

；對落點(diǎn)在B上的來球，小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為

1

5

，在D上的概率為

3

5

．假設(shè)共有兩次來球且落在A，B上各一次，小明的兩次回球互不影響，求：
（Ⅰ）小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率；
（Ⅱ）兩次回球結(jié)束后，小明得分之和ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）分別求出回球前落點(diǎn)在A上和B上時(shí)，回球落點(diǎn)在乙上的概率，進(jìn)而根據(jù)分類分布原理，可得小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率；
（Ⅱ）兩次回球結(jié)束后，小明得分之和ξ的取值有0，1，2，3，4，6六種情況，求出隨機(jī)變量ξ的分布列，代入數(shù)學(xué)期望公式可得其數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）小明回球前落點(diǎn)在A上，回球落點(diǎn)在乙上的概率為

1

2

+

1

3

=

5

6

，
回球前落點(diǎn)在B上，回球落點(diǎn)在乙上的概率為

1

5

+

3

5

=

4

5

，
故小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率P=

5

6

×（1-

4

5

）+（1-

5

6

）×

4

5

=

1

6

+

2

15

=

3

10

．
（Ⅱ）ξ的可能取值為0，1，2，3，4，6
其中P（ξ=0）=（1-

5

6

）×（1-

4

5

）=

1

30

；
P（ξ=1）=

1

3

×（1-

4

5

）+（1-

5

6

）×

3

5

=

1

6

；
P（ξ=2）=

1

3

×

3

5

=

1

5

；
P（ξ=3）=

1

2

×（1-

4

5

）+（1-

5

6

）×

1

5

=

2

15

；
P（ξ=4）=

1

2

×

3

5

+

1

3

×

1

5

=

11

30

；
P（ξ=6）=

1

2

×

1

5

=

1

10

；
故ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4	6
P	1 30	1 6	1 5	2 15	11 30	1 10

故ξ的數(shù)學(xué)期望為E（ξ）=0×

1

30

+1×

1

6

+2×

1

5

+3×

2

15

+4×

11

30

+6×

1

10

=

91

30

．

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個(gè)問題，題目做起來不難，運(yùn)算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．