Question

已知函數(shù)f(x)=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

)sin(x+

π

4

)
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和圖象的對稱軸方程及對稱中心；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

12

 ，  

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：利用兩角差的余弦公式，誘導公式及二倍角正弦公式將f（x）化為一角一函數(shù)形式得出f（x）=sin（2x-

π

6

）．
將2x-

π

6

看作整體（1）借助于正弦函數(shù)的對稱軸方程及對稱中心求解（2）先求出2x-

π

6

的范圍，再求出值域．

解答：解：f(x)=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

)sin(x+

π

4

)
=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

)cos(x-

π

4

)
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin（2x-

π

2

）
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-

1

2

cos2x
=-

1

2

cos2x+

3

2

sin2x
=sin（2x-

π

6

）．
最小正周期 T=

2π

2

=π，
由2x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z得圖象的對稱軸方程 x=

kπ

2

+

π

3

，k∈Z
由2x-

π

6

=kπ，k∈Z得x=

kπ

2

+

π

12

，對稱中心（

kπ

2

+

π

12

，0），k∈Z
（2）當x∈[-

π

12

 ，  

π

2

]時，2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，由正弦函數(shù)的性質(zhì)得值域為[-

3

2

，1]．

點評：本題考查利用三角公式進行恒等變形的技能以及運算能力，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，整體換元的思想方法．