【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的極值;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)判斷函數(shù)是否存在公切線,如果不存在,請說明理由,如果存在請指出公切線的條數(shù)
【答案】(1)當(dāng)時,函數(shù)無極值;當(dāng)時,函數(shù)的極小值為,無極大值. (2)當(dāng)時,遞增區(qū)間為和,無遞減區(qū)間;當(dāng)時,遞增區(qū)間為和,遞減區(qū)間為和.(3)存在,兩條
【解析】
(1)求導(dǎo)后,對分類討論,利用導(dǎo)數(shù)的可得結(jié)果;
(2)求導(dǎo)后,對分類討論,利用導(dǎo)數(shù)的符號可得單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè)它們的公切線與切于,與切于,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出它們的切線,根據(jù)兩條直線重合可得,構(gòu)造函數(shù),根據(jù)單調(diào)性和零點存在性定理可得結(jié)果.
(1),,
當(dāng)時,,函數(shù)在上遞減,此時函數(shù)無極值;
當(dāng)時,由,得,由,得,
所以函數(shù)在處取得極小值,極小值為,無極大值,
綜上所述:當(dāng)時,函數(shù)無極值;當(dāng)時,函數(shù)的極小值為,無極大值.
(2),定義域為,
,
當(dāng),即時,,函數(shù)的遞增區(qū)間為和,無遞減區(qū)間;
當(dāng),即時,由,得,解得或,
由,得,解得或,
所以函數(shù)的增區(qū)間為和,遞減區(qū)間為和.
綜上所述:當(dāng)時,遞增區(qū)間為和,無遞減區(qū)間;
當(dāng)時,遞增區(qū)間為和,遞減區(qū)間為和.
(3)函數(shù)存在兩條公切線,
理由如下:
假設(shè)它們的公切線與切于,與切于,
因為,,
所以在點處的切線方程為,即
在點處的切線方程為,即,
根據(jù)兩條切線重合可得,消去可得,
令,則,
所以在和上遞增,
因為時,,時,,所以函數(shù)在上有且只有一個零點,
因為時, ,時,,
所以函數(shù)在上有且只有一個零點,
所以在和上各有一個實根,
所以它們的公切線有且只有兩條.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓W:的焦距與橢圓Ω:+y2=1的短軸長相等,且W與Ω的長軸長相等,這兩個橢圓的在第一象限的交點為A,直線l經(jīng)過Ω在y軸正半軸上的頂點B且與直線OA(O為坐標(biāo)原點)垂直,l與Ω的另一個交點為C,l與W交于M,N兩點.
(1)求W的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(2)求.
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【題目】已知的三邊長分別為,,,M是AB邊上的點,P是平面ABC外一點.給出下列四個命題:①若平面ABC,則三棱錐的四個面都是直角三角形;②若平面ABC,且M是邊AB的中點,則有;③若,平面ABC,則面積的最小值為;④若,P在平面ABC上的射影是內(nèi)切圓的圓心,則點P到平面ABC的距離為.其中正確命題的序號是________.(把你認為正確命題的序號都填上)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代著名的數(shù)學(xué)家劉徽著有《海島算經(jīng)》.內(nèi)有一篇:“今有望海島,立兩表齊、高三丈,前后相去千步,今后表與前表相直,從前表卻行百二十三步,人目著地望島峰,與表末參合.從后表卻行百二十七步,人目著地取望島峰,亦與表末參合.問島高及去表各幾何?”(參考譯文:假設(shè)測量海島,立兩根標(biāo)桿,高均為5步,前后相距1000步,令前后兩根標(biāo)桿的底部和島的底部在同一水平直線上,從前標(biāo)桿退行123步,人的視線從地面(人的高度忽略不計)過標(biāo)桿頂恰好觀測到島峰,從后標(biāo)桿退行127步,人的視線從地面過標(biāo)桿頂恰好觀測到島峰,問島高多少?島與前標(biāo)桿相距多遠?)(丈、步為古時計量單位,三丈=5步).則海島高度為
A. 1055步 B. 1255步 C. 1550步 D. 2255步
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,且四棱錐P-ABCD的體積為,求該四棱錐的側(cè)面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)),其中.
(1)在區(qū)間上,是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,請說明理由.
(2)若函數(shù)的兩個極值點為,證明:.
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【題目】甲、乙兩人各射擊1 次擊中目標(biāo)的概率分別三分之二和四分之三,假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響,每次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間也沒有影響.
(1)求甲射擊4次,至少有1次未擊中目標(biāo)的概率.
(2)求兩人各射擊4次,甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率.
(3)假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo),則停止射擊,問:乙恰好射擊5次后被終止射擊的概率是多少?
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