Question

【題目】已知函數(shù)

（1）求函數(shù)的極值；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）判斷函數(shù)是否存在公切線，如果不存在，請說明理由，如果存在請指出公切線的條數(shù)

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極小值為，無極大值. （2）當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間為和，無遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為和.（3）存在，兩條

【解析】

（1）求導(dǎo)后，對(duì)分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的可得結(jié)果；

（2）求導(dǎo)后，對(duì)分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可得單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)它們的公切線與切于，與切于，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出它們的切線，根據(jù)兩條直線重合可得，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理可得結(jié)果.

（1），，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，此時(shí)函數(shù)無極值；

當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，

所以函數(shù)在處取得極小值，極小值為，無極大值，

綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極小值為，無極大值.

（2），定義域?yàn)?/span>，

，

當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)的遞增區(qū)間為和，無遞減區(qū)間；

當(dāng)，即時(shí)，由，得，解得或，

由，得，解得或，

所以函數(shù)的增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為和.

綜上所述：當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間為和，無遞減區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為和.

（3）函數(shù)存在兩條公切線，

理由如下：

假設(shè)它們的公切線與切于，與切于，

因?yàn)?/span>，，

所以在點(diǎn)處的切線方程為，即

在點(diǎn)處的切線方程為，即，

根據(jù)兩條切線重合可得，消去可得，

令，則，

所以在和上遞增，

因?yàn)?/span>時(shí)，,時(shí)，，所以函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

因?yàn)?/span>時(shí)， ，時(shí)，，

所以函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

所以在和上各有一個(gè)實(shí)根，

所以它們的公切線有且只有兩條.