Question

橢圓C₁：與拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的一個(gè)交點(diǎn)為M，拋物線C₂在點(diǎn)M處的切線過(guò)橢圓C₁的右焦點(diǎn)F．
（Ⅰ）若M，求C₁和C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）求橢圓C₁離心率的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）把M代入C₂：x²=2py（p＞0）得，
故C₂：（2分）
由得，從而C₂在點(diǎn)M處的切線方程為（3分）
令y=0有x=1，F(xiàn)（1，0），（4分）
又M 在橢圓C₁上
所以，解得a²=5，b²=4，故C₁：（6分）
（Ⅱ）設(shè)M，由得，
從而C₂在點(diǎn)M處的切線方程為（8分）
設(shè)F（c，0），代入上式得x₀=2c，
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224399.png' />，
所以（10分）
又x₀²=2py₀，所以，（11分）
從而4b²＞3a²，即4c²＜a²，，，
所以橢圓C₁離心率的取值范圍為．（13分）
分析：（Ⅰ）先根據(jù)M在拋物線C₂上，求出拋物線方程，進(jìn)而得到C₂在點(diǎn)M處的切線方程求出右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，再結(jié)合M在橢圓C₁上即可求出橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）先設(shè)M，由得，進(jìn)而得到C₂在點(diǎn)M處的切線方程求出右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；再結(jié)合M在橢圓C₁上以及p＞0求出a，b之間的關(guān)系即可得到橢圓C₁離心率的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．其中涉及到拋物線以及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了基本的分析問(wèn)題的能力和基礎(chǔ)的運(yùn)算能力．