Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，長軸長為，且點在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)是橢圓長軸上的一個動點，過作方向向量的直線交橢圓于、兩點，求證：為定值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）已知橢圓的長軸長，就是已知，那么在橢圓的標準方程中還有一個參數(shù)，正好橢圓過點，把這個點的代入橢圓標準方程可求出，得橢圓方程；（2）這是直線與橢圓相交問題，考查同學們的計算能力，給定了直線的方向向量，就是給出了直線的斜率，只要設(shè)動點的坐標為，就能寫出直線的方程，把它與橢圓方程聯(lián)立方程組，可求出兩點的坐標，從而求出的值，看它與有沒有關(guān)系（是不是常數(shù)），當然在求時，不一定要把兩點的坐標直接求出（如直接求出，對下面的計算沒有幫助），而是采取設(shè)而不求的思想，即設(shè)，然后求出，，而再把用，表示出來然后代入計算，可使計算過程簡化．

試題解析：（1） 因為的焦點在軸上且長軸為，

故可設(shè)橢圓的方程為（），       （1分）

因為點在橢圓上，所以，          （2分）

解得，     （1分）

所以，橢圓的方程為．               （2分）

（2）設(shè)（），由已知，直線的方程是，   （1分）

由  （*）     （2分）

設(shè)，，則、是方程（*）的兩個根，

所以有，，          （1分）

所以，

（定值）．       （3分）

所以，為定值．          （1分）

（寫到倒數(shù)第2行，最后1分可不扣）

考點：(1)橢圓的標準方程；（2）直線與橢圓相交問題．