Question

將n個正整數(shù)1，2，3，…，n （n∈N^*）分成兩組，使得每組中沒有兩個數(shù)的和是一個完全平方數(shù)，且這兩組數(shù)中沒有相同的數(shù)．那么n的最大值是______．

Answer 1

{1，2，3，4，5…n}為了將這些分成兩組，使得每組中任意兩數(shù)之和都不是完全數(shù)，那么將某一平方數(shù)表示成兩個數(shù)的和之后，這兩個數(shù)必不能分在同一組．比如9=2+7，那么2、7必須要分在不同的組．
我們假設(shè)分成的這兩組數(shù)是
A={a₁，a₂…a_i}，
B={b₁，b₂，…b_j}，
那么必有 a_k∈A，而m²-a_k≠a_k時，必有 {m²-a_k}∈B （其中m=1，2，3，4，5…），
同樣地，也必有b_k∈B時，而m²-b_k≠b_k時，必有 {m²-b_k}∈A （m=1，2，3，4，5…），
這樣，不失一般性，我們假設(shè)2分在A組，即 a₁=2，
那么 {m²-2}∈B
b₁=3²-2=7，
b₂=4²-2=14，
b₃=5²-2=23
同樣地，當(dāng) b₁=7時  {m²-7}∈A，即
{4²-7，5²-7，6²-7…}∈A，
這樣，我們有：
A={1，2，9，11，4，6，8，13}
B={7，14，5，12，3，10}
這種分組方案是不可調(diào)整的，就是說，無論從A取什么數(shù)到B，B中都會出現(xiàn)兩個數(shù)的和是完全平方數(shù)，同樣地，也不能從B中取某數(shù)到A中．
所以，n的最大值是14．
故答案為：14．