Question

已知函f（x）=e^x-x （e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）不等式f（x）＞ax的解集為P，若M={x|

1

2

≤x≤2}且M∩P≠∅求實數(shù)a的取值范圍；
（3）已知n∈N⁺，且S_n=∫_n⁰f（x）dx，是否存在等差數(shù)列{a_n}和首項為f（I）公比大于0的等比數(shù)列{b_n}，使得a₁+a₂+…+a_n+b₁+b₂+…b_n=S_n？若存在，請求出數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式．若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）∵函數(shù)f（x）=e^x-x，對f（x）求導，令f′（x）=0，得x=0，從而求得函數(shù)f（x）的最小值；
（2）由M={x|

1

2

≤x≤2}且M∩P≠∅，得f（x）＞ax在區(qū)間[

1

2

，1]有解，即e^x-x＞ax，可得a＜

ex

x

-1在[

1

2

，2]上有解，故令g（x）=

ex

x

-1，x∈[

1

2

，2]，求導得，g′（x）=

(x-1)ex

x2

，利用導數(shù)可求得g（x）在[

1

2

，2]上的最大值為
g（2），從而得a的取值范圍；
（3）設存在公差為d的等差數(shù)列{a_n}和公比為q（q＞0），首項為f（1）的等比數(shù)列{b_n}，使得a₁+a₂+…+a_n+b₁+b₂+…b_n=S_n，則由s_n=∫_O^Nf（x）dx，得s_n，由b₁=f（1）=e-1，且a₁+b₁=s₁，可得a₁，又n≥2時，a_n+b_n=s_n-s_n-1=e^n-1（e-1）-n+

1

2

故n=2，3時，有

- 1 2 +d+(e-1)q=e(e-1)- 3 2    ① - 1 2 +2d+(e-1)q2=e2(e-1)- 5 2 ②

可解得q=e，從而得d=-1，所以求得a_n，b_n；得到滿足條件的數(shù)列{a_n}，{b_n}．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=e^x-x，∴f′（x）=e^x-1；由f′（x）=0，得x=0，當x＞0時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞增；當x＜0時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調遞減；∴函數(shù)f（x）的最小值為f（0）=1．
（2）∵M∩P≠∅，∴f（x）＞ax在區(qū)間[

1

2

，1]有解，由f（x）＞ax，得e^x-x＞ax，即a＜

ex

x

-1在[

1

2

，2]上有解；
令g（x）=

ex

x

-1，x∈[

1

2

，2]，則g′（x）=

(x-1)ex

x2

，∴g（x）在[

1

2

，1]上單調遞減，在[1，2]上單調遞增；
又g（

1

2

）=2

e

-1，g（2）=

e2

2

-1，且g（2）＞g（

1

2

），∴g（x）的最大值為g（2）=

e2

2

-1，∴a＜

e2

2

-1．
（3）設存在公差為d的等差數(shù)列{a_n}和公比為q（q＞0），首項為f（1）的等比數(shù)列{b_n}，
使a₁+a₂+…+a_n+b₁+b₂+…+b_n=S_n
∵Sn=

∫

n 0

f(x)dx=

∫

n 0

(ex-x)dx=(ex-

1

2

x2)|_n=en-

1

2

n2-1；且b₁=f（1）=e-1，
∴a1+b1=S1即a1+e-1=e-

3

2

；∴a₁=-

1

2

，又n≥2時，a_n+b_n=s_n-s_n-1=e^n-1（e-1）-n+

1

2

；
故n=2，3時，有

- 1 2 +d+(e-1)q=e(e-1)- 3 2    ① - 1 2 +2d+(e-1)q2=e2(e-1)- 5 2 ②

；
②-①×2得，q²-2q=e²-2e，解得q=e，或q=2-e（舍），故q=e，d=-1；
此時a_n=-

1

2

+（n-1）（-1）=

1

2

-n，bn=(e-1)en-1且an+bn=(e-1)en-1+

1

2

-n=Sn-Sn-1；
∴存在滿足條件的數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足題意．

點評：本題綜合考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值問題，集合關系，定積分求值問題，函數(shù)與數(shù)列的綜合應用問題，屬于較難的問題；解題時需要認真分析，細心解答，避免出錯．