Question

（2012•武昌區(qū)模擬）如圖，DP⊥x軸，點M在DP的延長線上，且|DM|=2|DP|．當(dāng)點P在圓x²+y²=1上運動時．
（I）求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點T（0，t）作圓x²+y²=1的切線l交曲線C于A，B兩點，求△AOB面積S的最大值和相應(yīng)的點T的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出M的坐標(biāo)為（x，y），點P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），由題意DP⊥x軸，點M在DP的延長線上，且|DM|=2|DP|，找出x₀與x的關(guān)系及y₀與y的關(guān)系，記作①，根據(jù)P在圓上，將P的坐標(biāo)代入圓的方程，記作②，將①代入②，即可得到點M的軌跡方程；
（Ⅱ）由過點T（0，t）作圓x²+y²=1的切線l交曲線C于A，B兩點，得到|t|大于等于圓的半徑1，分兩種情況考慮：（i）當(dāng)t=1時，確定出切線l為x=1，將x=1代入M得軌跡方程中，求出A和B的坐標(biāo)，確定出此時|AB|的長，當(dāng)t=-1時，同理得到|AB|的長；（ii）當(dāng)|t|大于1時，設(shè)切線l方程為y=kx+t，將切線l的方程與圓方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)A和B的坐標(biāo)，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩點橫坐標(biāo)之和與之積，再由切線l與圓相切，得到圓心到切線的距離d=r，利用點到直線的距離公式列出關(guān)系式，整理后得到k與t的關(guān)系式，然后利用兩點間的距離公式表示出|AB|，將表示出的兩根之和與兩根之積，以及k與t的關(guān)系式代入，得到關(guān)于t的關(guān)系，利用基本不等式變形，得到|AB|的最大值，以及此時t的取值，而三角形AOB的面積等于AB與半徑r乘積的一半來求，表示出三角形AOB的面積，將|AB|的最大值代入求出三角形AOB面積的最大值，以及此時T的坐標(biāo)即可．

解答：（本小題滿分13分）
解：（I）設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，y），點P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則x=x₀，y=2y₀，所以x₀=x，y₀=

y

2

，①
因為P（x₀，y₀）在圓x²+y²=1上，所以x₀²+y₀²=1②，
將①代入②，得點M的軌跡方程C的方程為x²+

y2

4

=1；…（5分）
（Ⅱ）由題意知，|t|≥1，
（i）當(dāng)t=1時，切線l的方程為y=1，點A、B的坐標(biāo)分別為（-

3

2

，1），（

3

2

，1），
此時|AB|=

3

，當(dāng)t=-1時，同理可得|AB|=

3

；
（ii）當(dāng)|t|＞1時，設(shè)切線l的方程為y=kx+t，k∈R，
由

y=kx+t x2+ y 2   4 =1

，
得（4+k²）x²+2ktx+t²-4=0③，
設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由③得：x₁+x₂=-

2kt

4+k2

，x₁x₂=

t2-4

4+k2

，
又直線l與圓x²+y²=1相切，得

|t|

k 2   +1

=1，即t²=k²+1，
∴|AB|=

(x2-x1) 2   + (y2-y1) 2

=

(1+ k 2   )[ 4k2t2 (4+k2)2 - 4(t2-4) 4+k2 ]

=

4 3 |t|

t 2   +3

，
又|AB|=

4 3 |t|

t 2   +3

=

4 3

|t|+ 3 |t|

≤2，且當(dāng)t=±

3

時，|AB|=2，
綜上，|AB|的最大值為2，
依題意，圓心O到直線AB的距離為圓x²+y²=1的半徑，
∴△AOB面積S=

1

2

|AB|×1≤1，
當(dāng)且僅當(dāng)t=±

3

時，△AOB面積S的最大值為1，相應(yīng)的T的坐標(biāo)為（0，-

3

）或（0，

3

）．…（13分）

點評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，以及動點的軌跡方程，涉及的知識有：直線與圓的交點，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，基本不等式的運用，以及直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑的性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化及分類討論的思想，是一道綜合性較強的試題．