Question

已知函數(shù)f（x）=x-

1

2

ax2-ln（1+x），其中a∈R
（I）若x=2是f（x）的極值點(diǎn)，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）令f'（2）=0，解得a，再驗(yàn)證是否符合函數(shù)取得極值的充分條件即可；
（II）對(duì)a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得出．

解答：解：（I）f′(x)=

x(1-a-ax)

x+1

，x∈（-1，+∞）
依題意，令f'（2）=0，解得a=

1

3

，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=

1

3

時(shí)，x=2是f（x）的極值點(diǎn)．
∴a=

1

3

（II）①當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=

x

x+1

故f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是（-1，0）．
②當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，得x₁=0，或x2=

1

a

-1
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-1，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	+
f（x）	↘	f（x1）	↗	f（x2）	↘

所以，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，

1

a

-1）；單調(diào)增區(qū)間是（-1，0）和（

1

a

-1，+∞）．
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-1，+∞）
當(dāng)a＞1時(shí)，-1＜x₂＜0，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-1，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1+∞）
f'（x）	-	0	+	0	+
f（x）	↘	f（x2）	↗	f（x1）	↘

所以，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（

1

a

-1，0）；單調(diào)減區(qū)間是（-1，

1

a

-1）和（0，+∞）．
③當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是（-1，0）．
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的增區(qū)間是（0，+∞），減區(qū)間是（-1，0）；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的增區(qū)間是（0，

1

a

-1），減區(qū)間是（-1，0）和（

1

a

-1，+∞）；
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的減區(qū)間是（-1，+∞）；
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的增區(qū)間是（

1

a

-1，0）；減區(qū)間是（-1，

1

a

-1）和（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、分類討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵．