Question

5．已知數列{a_n}的首項a₁=1，且對每個n∈N^*，a_n，a_n+1是方程x²+2nx+b_n=0的兩根，則b₁₀=189．

Answer 1

分析 a_n，a_n+1是方程x²+2nx+b_n=0的兩根，可得a_n+a_n+1=-2n，a_n•a_n+1=b_n．于是a_n+2-a_n=-2．因此數列{a_n}的奇數項與偶數項分別成等差數列，公差都為-2，首項分別為1，-3．即可得出．

解答 解：∵a_n，a_n+1是方程x²+2nx+b_n=0的兩根，
∴a_n+a_n+1=-2n，a_n•a_n+1=b_n．
∴a_n+2-a_n=-2．
∴數列{a_n}的奇數項與偶數項分別成等差數列，公差都為-2，首項分別為1，-3．
∴a_2k-1=1-2（n-1）=3-2n，a_2k=-3-2（k-1）=-1-2k，
∴b₁₀=a₁₀a₁₁=（-1-20）×（3-12）=189．
故答案為：189．

點評 本題考查了等差數列的通項公式、遞推關系的應用、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力能力與計算能力，屬于中檔題．