Question

（本小題滿分14分）設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090810412735757952/SYS201209081041571554306231_ST.files/image002.png">，記內(nèi)的格點(diǎn)（格點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）個(gè)數(shù)為

（1）求的值及的表達(dá)式；（2）記，試比較的大��；若對(duì)于一切的正整數(shù)，總有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)的和，其中，問(wèn)是否存在正整數(shù)，使成立？若存在，求出正整數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

⑴   ；（2）；

（3）存在正整數(shù)使成立.

【解析】(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090810412735757952/SYS201209081041571554306231_DA.files/image005.png">,所以當(dāng)時(shí)，取值為1，2，3，…，共有個(gè)格點(diǎn),當(dāng)時(shí)，取值為1，2，3，…，共有個(gè)格點(diǎn),從而可知.

(2)由于，然后根據(jù)研究數(shù)列{}的單調(diào)性，從而確定出其最值.問(wèn)題到此基本得以解決.

(3)在（2）的基礎(chǔ)上，可知,然后將代入,再化簡(jiǎn)整理可得,然后再根據(jù)t=1和t>1兩種情況進(jìn)行討論，從而確定是否存在n,t的值，使成立.

解：⑴              ------------------2

當(dāng)時(shí)，取值為1，2，3，…，共有個(gè)格點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，取值為1，2，3，…，共有個(gè)格點(diǎn)

∴-      ------------------4分

（2）解：由 

則

-------------------5分

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，-------------------6分

∴時(shí)，

時(shí)，

時(shí)，

∴中的最大值為-------------------8分

要使對(duì)于一切的正整數(shù)恒成立，只需

∴-------------------9分

（3）解：--------------10分

將代入，化簡(jiǎn)得，（﹡）--------------11分

若時(shí)，顯然-------------------12分

若時(shí)     （﹡）式

化簡(jiǎn)為不可能成立-------------------13

綜上，存在正整數(shù)使成立. - --------------14分