Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）（x∈R且x≠0）對定義域內(nèi)任意的x₁，x₂恒有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
（1）求證：f（1）=f（-1）=0；
（2）求證：y=f（x）是偶函數(shù)；
（3）若f（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，解不等式f(x)+f(x-

1

2

)≤0．

Answer 1

分析：（1）對定義域內(nèi)任意的x₁，x₂恒有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）分別對x₁=x₂=1賦值，即可證f（1）=f（-1）=0；
（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性定義，只需要找到f（-x）與f（x）的關(guān)系即可解答問題，操作時可以令y=-x進行分析；
（3）首先應(yīng)充分利用好前兩問題的結(jié)論對（3）問進行轉(zhuǎn)化，再結(jié)合所給不等式找到抽象不等式：f[x(x-

1

2

)]≤f(1)
，結(jié)合單調(diào)性分析即可獲得問題的解答．

解答：解：（1）令x₁=x₂=1，則f（1）=f（1）+f（1）
∴f（1）=0
令x₁=x₂=-1，則f（1）=f（-1）+f（-1）∴f（-1）=0
（2）x∈{x|x∈R且x≠0}關(guān)于原點對稱，
令x₁=x，x₂=-1
∴f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）
∴f（x）=f（-x）
所以f（x）在{x|x∈R且x≠0}上是偶函數(shù)．
（3）不等式f(x)+f(x-

1

2

)≤0．
即f[x(x-

1

2

)]≤f(1)
∵f（x）在{x|x∈R且x≠0}上是偶函數(shù)
且f（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴|x(x-

1

2

)|≤1，
解得：

1- 17

4

≤x＜0或

1

2

＜x≤

1+ 17

4

．

點評：本題考查的是抽象函數(shù)問題．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了，特值的思想、問題轉(zhuǎn)化的思想以及函數(shù)奇偶性的判斷和應(yīng)用．值得同學們體會和反思．對于解決抽象函數(shù)的一般采用賦值法，求某些點的函數(shù)值和證明不等式等，屬中檔題．