Question

給定曲線f（x）=ax³+x²（a≠0）．
（1）若a=1，過點(diǎn)P（1，2）引曲線的切線，求切線方程；
（2）若過曲線上的點(diǎn)Q引曲線的切線只有一條，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）若x∈（0，1）時，以曲線段上任一點(diǎn)為切點(diǎn)的切線斜率的絕對值不大于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后討論點(diǎn)P是否為切點(diǎn)，當(dāng)P（1，2）為切點(diǎn)時，切線斜率k=f'（1），然后利用點(diǎn)斜式方程可求出切線方程，當(dāng)P（1，2）不是切點(diǎn)時，設(shè)切點(diǎn)為T（x₀，x₀³+x₀²），切線斜率k=f'（x₀），然后根據(jù)k=k_PT建立等式關(guān)系，求出切點(diǎn)，從而求出切線方程；
（2）設(shè)Q（x₁，ax₁³+x₁²），以Q為切點(diǎn)時必然存在一條切線，求出切線方程，然后與曲線聯(lián)立方程組，使關(guān)于x的方程只有一個根x₁，△=0，可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）由題意得：-1≤3ax²+2x≤1，x∈（0，1）恒成立，然后將a分離出來得

-1-2x

3x2

≤a≤

1-2x

3x2

，然后分別研究左邊函數(shù)在x∈（0，1）的最大值，右邊函數(shù)在x∈（0，1）的最小值，即可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=x³+x²，f'（x）=3x²+2x
①當(dāng)P（1，2）為切點(diǎn)時，切線斜率k=f'（1）=5，此時切線方程為y-2=5（x-1），即y=5x-3．
②當(dāng)P（1，2）不是切點(diǎn)時，設(shè)切點(diǎn)為T（x₀，x₀³+x₀²），切線斜率k=f'（x₀）=3x₀³+2x₀
另一方面，k=k_PT=

x 3 0 + x 2 0 -2

x0-1

∴

x 3 0 + x 2 0 -2

x0-1

=3

x

2 0

+2x0，(x0-1)2(x0+1)=0，
∵x₀≠1，∴x₀=-1，∴T（-1，0），此時切線y=x+1
綜上，所求的切線為y=5x-3或y=x+1．
（2）設(shè)Q（x₁，ax₁³+x₁²），以Q為切點(diǎn)時必然存在一條切線．
切線斜率k=f'（x₁）=3ax₁²+2x₁，
切線方程為：y-（ax₁³+x₁²）=3（ax₁²+2x₁）（x-x₁），聯(lián)立曲線y=ax³+x²，
得（x-x₁）[ax²+（ax₁+1）x-2ax₁²-x₁]=0，
由于這樣的切線只有一條，所以上述關(guān)于x的方程只有一個根x₁，
即二次方程ax²+（ax₁+1）x-2ax₁²-x₁=0只有一個根x₁，
顯然把x=x₁代入滿足，故△=（ax₁+1）²+4a（2ax₁²+x₁）=0
化簡為：△=9a²x₁²+6ax₁+1=（3ax₁+1）²=0，解得x₁=-

1

3a

，得Q(-

1

3a

，

2

27a2

)
（3）由題意得：-1≤3ax²+2x≤1，x∈（0，1）恒成立
∴

-1-2x

3x2

≤a≤

1-2x

3x2

∵

1-2x

3x2

=

1

3

(

1

x2

-2

1

x

)=

1

3

[(

1

x

-1)2-1]＞-

1

3

，

-1-2x

3x2

=-

1

3

(

1

x2

+2

1

x

)=-

1

3

[(

1

x

+1)2-1]＜-1，
∴-1≤a≤-

1

3

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及恒成立問題，同時考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．