已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b為實(shí)常數(shù))的零點(diǎn)與函數(shù)g(x)=2x2+4x-30的零點(diǎn)相同,數(shù)列{an},{bn}定義為:a1=,2an+1=f(an)+15,bn=(n∈N*).
(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)若將數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和與數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積分別記為Sn,Tn證明:對(duì)任意正整數(shù)n,2n+1Tn+Sn為定值;
(3)證明:對(duì)任意正整數(shù)n,都有2[1-(n]≤Sn<2.
【答案】分析:(1)設(shè)方程2x2+4x-30=0的兩個(gè)實(shí)根為α,β,則α+β=-2,αβ=-15,由函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b為實(shí)常數(shù))的零點(diǎn)與函數(shù)g(x)=2x2+4x-30的零點(diǎn)相同,知x2+ax+b=0的兩個(gè)實(shí)根為α,β.由韋達(dá)定理能求出a和b.
(2)證明:由(1)知f(x)=x2+2x-15,從而,所以=,由此能夠證明對(duì)任意正整數(shù)n,2n+1Tn+Sn=+為定值.
(3)由a1>0,,知{an}為單調(diào)遞增的正數(shù)數(shù)列,由,知{bn}為遞減的正數(shù)數(shù)列,由此能夠證明對(duì)任意正整數(shù)n,都有2[1-(n]≤Sn<2.
解答:(1)解:設(shè)方程2x2+4x-30=0的兩個(gè)實(shí)根為α,β,
則α+β=-2,αβ=-15,
∵函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b為實(shí)常數(shù))的零點(diǎn)與函數(shù)g(x)=2x2+4x-30的零點(diǎn)相同,
∴x2+ax+b=0的兩個(gè)實(shí)根為α,β,
由韋達(dá)定理得a=-(α+β)=2,b=αβ=-15.
(2)證明:由(1)知f(x)=x2+2x-15,
從而2an+1=an(an+2),即,
∵2an+1=an(an+2),
=
==,
∴Tn=b1•b2•b3…bn
=
=
Sn=b1+b2+…+bn
=()+()+…+(
=,n∈N*
∴對(duì)任意正整數(shù)n,2n+1Tn+Sn=+=2為定值.
(3)證明:∵a1>0,,
∴an+1>an>0,n∈N*
即{an}為單調(diào)遞增的正數(shù)數(shù)列,
,
∴{bn}為遞減的正數(shù)數(shù)列,且,

,
∴對(duì)任意正整數(shù)n,都有2[1-(n]≤Sn<2.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列與不等的綜合應(yīng)用,綜合性強(qiáng),強(qiáng)度大,計(jì)算繁瑣,容易出錯(cuò).解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意韋達(dá)定理的合理運(yùn)用,注意培養(yǎng)計(jì)算能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
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已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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