Question

如圖菱形ABEF所在平面與直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠ABE=60°，∠BAD=∠CDA=90°，點H是線段EF的中點．
（1）求證：平面AHC⊥平面BCE； 
（2）求此幾何體的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）由已知條件推導出AH⊥AB，AH⊥BC，AC⊥BC，從而得到BC⊥面AHC，由此能證明面AHC⊥面BCE．
（2）V=V_E-ACB+V_F-ADC+V_C-AEF．

解答： （1）證明：在菱形ABEF中，因為∠ABE=60°，所以△AEF是等邊三角形，
又因為H是線段EF的中點，所以AH⊥EF⇒AH⊥AB
因為面ABEF⊥面ABCD，且面ABEF∩面ABCD=AB，
所以AH⊥面ABCD，所以AH⊥BC，
在直角梯形中，AB=2AD=2CD=4，∠BAD=∠CDA=90°，得到AC=BC=2

2

，
從而AC²+BC²=AB²，所以AC⊥BC，又AH∩AC=A
所以BC⊥面AHC，
又BC?面BCE，所以平面AHC⊥平面BCE…．（6分）
（2）解：因為V=V_E-ACB+V_F-ADC+V_C-AEF，
S△ACB=4，S△ADC=2，S△AEF=4

3

所以V=VE-ACB+VF-ADC+VF-ACE=

1

3

(2

3

×4+2

3

×2+2×4

3

)=

20 3

3

..（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查幾何體的體積的計算，正確運用平面與平面垂直的判定定理是關鍵．