Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為AB的中點(diǎn)．
（1）求異面直線BD₁與CE所成角的余弦值；
（2）求二面角A₁-EC-A的余弦值．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件知，本題有同一點(diǎn)出發(fā)的三條兩兩垂直的線段，故可以建立空間坐標(biāo)系，利用向量法求得兩異面直線的夾角及二面角的夾角余弦值．由圖，可以D為原點(diǎn)，DC為y軸，DA為x軸，DD₁為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，給出各點(diǎn)的坐標(biāo)
（1）由圖給出異面直線BD₁與CE的方向向量，由數(shù)量積公式求出兩直線的夾角；
（2）由向量運(yùn)算求出兩個(gè)平面的法向量，再由數(shù)量積公式求出兩個(gè)平面的夾角的余弦值

解答：解：以D為原點(diǎn)，DC為y軸，DA為x軸，DD₁為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，…（1分）
則A₁（1，0，1），B（1，1，0），C（0，1，0），D₁（0，0，1），E(1，

1

2

，0)，…（2分）
（1）

BD1

=(-1，-1，1)，

CE

=(1，-

1

2

，0)…（1分）
cos＜

BD1

，

CE

＞=-

15

15

，…（1分）
所以所求角的余弦值為

15

15

…（1分）
（2）D₁D⊥平面AEC，所以

D1D

為平面AEC的法向量，

D1D

=(0，0，1)…（1分）
設(shè)平面A₁EC法向量為

n

=(x，y，z)，又

A1E

=(0，

1

2

，-1)，

A1C

=(-1，1，-1)，

n • A1E =0 n • A1C =0

即

1 2 y-z=0 -x+y-z=0

，取

n

=(1，2，1)，…（3分）
所以cos＜

DD1

，

n

＞=

6

6

…（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查用空間向量求二面角的夾角與兩直線的夾角，解題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，及掌握向量法求線線角，面面角的向量公式，本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想及轉(zhuǎn)化的思想，利用向量求解決立體幾何問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)，向量法解決立體幾何問(wèn)題降低了思維難度，化推理為計(jì)算，使得幾何求解變得簡(jiǎn)單，此法也有不足，需要建立坐標(biāo)系，且運(yùn)算量較大