Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|+a²•x，其中a為常數(shù)，若函數(shù)f（x）存在最小值的充要條件是a∈A．
（1）集合A=

 

；
（2）若當(dāng)a∈A時，函數(shù)f（x）的最小值為

1

8

，則a=

 

．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用,必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用分段函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)最小值的定義即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，解方程即可．

解答： 解：（1）若x≥a時，f（x）=（a²+1）x-a，此時函數(shù)單調(diào)遞增，．
若x＜a時，f（x）=（a²-1）x+a，
如果函數(shù)f（x）存在最小值，
則f（x）在（-∞，a）上是減函數(shù)或常數(shù)．
得a²-1≤0，即-1≤a≤1，
故f（x）存在最小值的充要條件是-1≤a≤1，即[-1，1]，那么a范圍是[-1，1]．
（2）由（1）知f（x）_min=f（a）=a³，
若函數(shù)f（x）的最小值為

1

8

，
則a³=

1

8

，解得a=

1

2

．
故答案為：（1）[-1，1]，（2）

1

2

．

點評：本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，解不等式，分類討論的思想，注意根據(jù)函數(shù)的形式判斷出函數(shù)中參數(shù)的取值范圍．難度較高．