Question

過(guò)點(diǎn)（0，-1）作直線(xiàn)l與圓x²+y²-2x-4y-20=0交于A，B兩點(diǎn)，如果|AB|=8，則直線(xiàn)l的方程為（ ）
A．3x+4y+4=0
B．3x-4y-4=0
C．3x+4y+4=0或y+1=0
D．3x-4y-4=0或y+1=0

Answer 1

【答案】分析：設(shè)過(guò)（0，-1）的直線(xiàn)l的方程為x=m（y+1），可知x²+y²-2x-4y-20=0的圓心P的坐標(biāo)與圓的半徑r，利用圓心P到l的距離d，弦長(zhǎng)之半|AB|，與r構(gòu)成的直角三角形即可求得m的值，繼而可求得直線(xiàn)l的方程．
解答：解：設(shè)過(guò)（0，-1）的直線(xiàn)l的方程為x=m（y+1），
∵x²+y²-2x-4y-20=0的圓心P（1，2），半徑r==10=5，
設(shè)圓心P到l的距離為d，則d=，
又|AB|=8，
∴|AB|=4，
∵弦心距d，弦長(zhǎng)之半|AB|，與r構(gòu)成的直角三角形，r為斜邊，
∴d²+16=25，
∴d²==9，
解得m=-．
∴l(xiāng)的方程為：3x+4y+4=0；
若l的方程為y=-1時(shí)，圓心P（1，2）到l的距離d=2-（-1）=3，
顯然，弦心距d=3，弦長(zhǎng)之半|AB|=4，與r=5構(gòu)成直角三角形，滿(mǎn)足題意，
故直線(xiàn)l的方程為3x+4y+4=0或y+1=0；
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，著重考查弦心距d，弦長(zhǎng)之半|AB|，與r構(gòu)成的直角三角形的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化與方程思想及運(yùn)算能力，屬于中檔題．