設(shè)在平面上取定一個極坐標(biāo)系,以極軸作為直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸,以θ=
π
2
的射線作為y軸的正半軸,以極點為坐標(biāo)原點,長度單位不變,建立直角坐標(biāo)系,已知曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2,直線l的參數(shù)方程
x=1-t
y=2t
(t為參數(shù)).
(Ⅰ)寫出直線l的普通方程與曲線C的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)平面上伸縮變換的坐標(biāo)表達(dá)式為
X=2x
Y=y
,求C在此變換下得到曲線C'的方程,并求曲線C′內(nèi)接矩形的最大面積.
考點:參數(shù)方程化成普通方程
專題:坐標(biāo)系和參數(shù)方程
分析:(Ⅰ)把直線l的參數(shù)方程消去參數(shù),化為直角坐標(biāo)方程,曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2,即ρ2=2,化簡可得結(jié)果.
(Ⅱ)先求得曲線C在此變換下得到曲線C'的方程為 (
X
2
)
2
+Y2=2,再求得曲線C'的參數(shù)方程為
x=2
2
cosα
Y=
2
sinα
,根據(jù)橢圓的對稱性,曲線的內(nèi)接矩形的面積為4|XY|=8|sin2α|,由此可得曲線的內(nèi)接矩形的面積最大值.
解答: 解:(Ⅰ)把直線l的參數(shù)方程
x=1-t
y=2t
(t為參數(shù)),消去參數(shù),化為直角坐標(biāo)方程為 2x+y-2=0.
曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2,即 ρ2=2,即 ρ=
2

(Ⅱ)設(shè)平面上伸縮變換的坐標(biāo)表達(dá)式為
X=2x
Y=y

曲線C在此變換下得到曲線C'的方程為 (
X
2
)
2
+Y2=2,即
X2
8
+
Y2
2
=1.
曲線C'的參數(shù)方程為
x=2
2
cosα
Y=
2
sinα
,根據(jù)橢圓的對稱性,曲線的內(nèi)接矩形的面積為4|XY|=8|sin2α|,
故當(dāng)α=
π
4
時,曲線的內(nèi)接矩形的面積最大為8.
點評:本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程的方法,曲線的伸縮變換,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
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π
6
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x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率e=
1
2
,右焦點到直線
x
a
+
y
b
=1的距離d=
21
7
,O為坐標(biāo)原點.
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已知矩陣A=
a2
73
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b-2
-7a
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人.

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