Question

在含有2件次品的10件產(chǎn)品中，任取三件進(jìn)行檢驗(yàn)，試求：
（1）取到2件次品的概率；
（2）在已知一件次品被取到的條件下，另一件次品也被取到的概率；
（3）取到次品數(shù)X的分布列及均值EX．

Answer 1

分析：（1）所有的取法有

C

3 10

=120種，取到2件次品的取法有

C

2 2

•C

1 8

=8種，由此求得取到2件次品的概率．
（2）記“取到一件次品”為事件B；“另一件次品也被取到”為事件C，求得n(BC)=

C

2 2

C

1 8

=8，n(B)=

C

1 2

C

2 8

+

C

2 2

C

1 8

=64，再根據(jù)P(C|B)=

n(BC)

n(B)

，運(yùn)算求得結(jié)果．
（3）次品數(shù)X的服從超幾何分布，求得P(X=0)=

C 0 2 C 3 8

C 3 10

、P(X=1)=

C 1 2 C 2 8

C 3 10

、P(X=2)=

C 2 2 C 1 8

C 3 10

的值，可得隨機(jī)變量X的分布列及均值EX．

解答：解：（1）從10件產(chǎn)品中，任取三件的事件數(shù)為n(Ω)=

C

3 10

=120．
記“取到2件次品”為事件A，由分步計(jì)數(shù)原理及組合數(shù)公式，得n(A)=

C

2 2

C

1 8

=8，…（3分）
故有 P(A)=

n(A)

n(Ω)

=

8

120

=

1

15

，即取到2件次品的概率

1

15

．
（2）記“取到一件次品”為事件B；“另一件次品也被取到”為事件C.n(BC)=

C

2 2

C

1 8

=8，n(B)=

C

1 2

C

2 8

+

C

2 2

C

1 8

=64，
于是P(C|B)=

n(BC)

n(B)

=

8

64

=

1

8

．
即在已知一件次品被取到的條件下，另一件次品也被取到的概率

1

8

．…（7分）
（3）次品數(shù)X的服從超幾何分布.P(X=0)=

C 0 2 C 3 8

C 3 10

=

7

15

P(X=1)=

C 1 2 C 2 8

C 3 10

=

7

15

． …（10分）
再求得 P(X=2)=

C 2 2 C 1 8

C 3 10

=

1

15

，可得隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	1	2
P	7 15	7 15	1 15

…（12分）
EX=0×

7

15

+1×

7

15

+2×

1

15

=

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型及其概率計(jì)算公式的應(yīng)用，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題．