Question

如圖，已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=2，AA₁=1，直線BD與平面AA₁B₁B所成的角為30°，AE垂直BD于E，F(xiàn)為A₁B₁的中點．
（I）求異面直線AE與BF所成的角；
（II）求平面BDF與平面AA₁B所成二面角（銳角）的大小
（III）求點A到平面BDF的距離．

Answer 1

【答案】分析：解法一：
在含有直線與平面垂直垂直的條件的棱柱、棱錐、棱臺中，可以建立空間直角坐標系，設定參量求解．比如此題中，我們可以以A為坐標原點，分別以AB、AD、AA₁為x、y、z軸，建立空間直角坐標系O-xyz．這種解法的好處就是：①解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關(guān)定理，因為這些可以用向量方法來解決．②即使立體感稍差一些的學生也可以順利解出，因為只需畫個草圖以建立坐標系和觀察有關(guān)點的位置即可．
（I）∵，∴．即異面直線AE、BF所成的角為．
（II）易知平面AA₁B的一個法向量．設是平面BDF的一個法向量，即平面BDF與平面AA₁B所成二面角（銳角）大小為向量．
（III）點A到平面BDF的距離，即在平面BDF的法向量上的投影的絕對值，所以距離
解法二：
（I）求異面直線所成的角，也可以做適當?shù)钠揭�，把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，然后在相關(guān)的三角形中借助正弦或余弦定理解出所求的角．平移時主要是根據(jù)中位線和中點條件，或者是特殊的四邊形，三角形等．連接B₁D₁，過F作B₁D₁的垂線，垂足為K，則FK∥AE．∴∠BFK為異面直線BF與AE所成的角．
（II）二面角的度量關(guān)鍵在于找出它的平面角，構(gòu)造平面角常用的方法就是三垂線法．由于DA⊥面AA₂B，由A作BF的垂線AG，垂足為G，連接DG，由三垂線定理知BG⊥DG．∴∠AGD即為平面BDF與平面AA₁B所成二面角的平面角．
（III）在立體幾何中，求點到平面的距離是一個常見的題型，同時求直線到平面的距離、平行平面間的距離及多面體的體積也常轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離．找（作）出一個過該點的平面與已知平面垂直，然后過該點作其交線的垂線，則得點到平面的垂線段．由（II）知平面AFD是平面BDF與平面AA₁B所成二面確的平面角所在的平面∴面AFD⊥面BDF．在Rt△ADF，由A作AH⊥DF于H，則AH即為點A到平面BDF的距離．
解答：解：法一：在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y
軸，AA₁所在直線為z軸建立空間直角坐標系如圖．
由已知AB=2，AA₁=1，可得A（0，0，0），B（2，0，0），F(xiàn)（1，0，1）．
又AD⊥平面AA₁B₁B，從而BD與平面AA₁B₁B所成的角即為∠DBA=30°，
又，
從而易得．
（I）∵，
∴=．
即異面直線AE、B所成的角為．]
（II）易知平面AA₁B的一個法向量．
設是平面BDF的一個法向量，．
由，
取，∴．
即平面BDF與平面AA₁B所成二面角（銳角）大小為．
（III）點A到平面BDF的距離，即在平面BDF的法向量上的投影的絕對值，
所以距離

所以點A到平面BDF的距離為．
解法二：（I）連接B₁D₁，過F作B₁D₁的垂線，
垂足為K，∵BB₁與兩底面ABCD，A₁B₁C₁D₁都垂直，
∴平面BDD₁B₁，
又平面BDD₁B₁，
因此FK∥AE．∴∠BFK為異面直線BF與AE所成的角．
連接BK，由FK⊥面BDD₁B₁得FK⊥BK，
從而△BKF為Rt△．
在Rt△B₁KF和Rt△B₁D₁A₁中，
由
得．
又，∴．
∴異面直線BF與AE所成的角為．
（II）由于DA⊥面AA₂B，由A作BF的垂線AG，垂足為G，
連接DG，由三垂線定理知BG⊥DG．
∴∠AGD即為平面BDF與平面AA₁B所成二面角的平面角，
且∠DAG=90°，在平面AA₁B中，延長BF與AA₁交于
點S，∵F為A₂B₁的中點，A₁F∥=，
即SA=2A₁A=2=AB，∴Rt△BAS為等腰直角三角形，
垂足G點為斜邊SB的中點F，即F、G重合．
易得．在Rt△BAS中，．
即平面BDF與平面AA₁B所成二面角（銳角）的大小為．
（III）由（II）知平面AFD是平面BDF與平面AA₁B所
成二面確的平面角所在的平面∴面AFD⊥面BDF．
在Rt△ADF，由A作AH⊥DF于H，則AH即為點
A到平面BDF的距離．
由AH．DF=AD．AF，
得．
所以點A到平面BDF的距離為．
點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、面面關(guān)系、二面角的度量、點到面的距離計算，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．