Question

在半徑為R的半球內有一內接圓柱，則這個圓柱的體積的最大值是（　�。�

• A．

  2 3

  9

  πR3
• B．

  4 3

  9

  πR3
• C．

  2 3

  3

  πR3
• D．

  4

  9

  πR3

Answer 1

分析：設這個圓柱的高為h，可得這個圓柱的體積V=π（-h³+R²h）．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，得V在（0，

3

3

R）上是增函數(shù)，在（

3

3

R，R）上是減函數(shù)，由此可得當h=

3

3

R時，圓柱的體積的最大值是

2 3

9

πR²．

解答：解：設這個圓柱的高為h，底面半徑為r，可得
h²+r²=R²，所以r=

R2-h2

∴這個圓柱的體積V=πr²h=π（-h³+R²h）
∵V'=π（-3h²+R²）=-3π（h+

3

3

R）（h-

3

3

R）
V'＞0，得h＜

3

3

R； V'＜0，得h＞

3

3

R
∴V在（0，

3

3

R）上是增函數(shù)，在（

3

3

R，R）上是減函數(shù)
因此，當h=

3

3

R時，圓柱的體積的最大值V_max=π[-（

3

3

R）³+R²×

3

3

R）=

2 3

9

πR²
故選：A

點評：本題給出半球，求其內接圓柱的體積最大值，著重考查了球內接多面體、圓柱體積公式和利用導數(shù)研究函數(shù)的最值等知識，屬于中檔題．