Question

已知函數(shù)，其中a，b為實(shí)數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若f（1）=4，且f（-1）=-2，求函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)區(qū)間，并用定義加以證明；
（3）在（2）的條件下，求函數(shù)f（x）在上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}．
f（-x）+f（x）=（-x-+b）+（x++b）=2b，
只有當(dāng)b=0時(shí)f（x）為奇函數(shù)；
（2）由f（1）=4，f（-1）=-2，可得，解得a=2，b=1．
則f（x）=x++1，f′（x）=1-，令f′（x）＞0解得x＞，令f′（x）＜0解得0＜x＜，
所以f（x）的增區(qū)間是（，+∞），減區(qū)間是（0，）；
設(shè)＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=（）-（）=，
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png' />＜x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂-2＞0，x₁x₂＞0，
故f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以f（x）是（，+∞）上的增函數(shù)；
設(shè)0＜x₁＜x₂＜，則f（x₁）-f（x₂）=（）-（）=，
因?yàn)?＜x₁＜x₂＜，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂-20，
故f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以f（x）是（0，）上的增函數(shù)．
（3）由（2）知：f（x）在[，]上遞減，在[，3]上遞增，
所以f（x）的最小值為f（）=2+1，
又f（）=，f（3）=，
所以f（x）的最大值為f（）=．
分析：（1）利用奇偶性的定義即可判斷，注意考慮參數(shù)；
（2）由f（1）=4，且f（-1）=-2可求得a，b值，從而求得f（x），利用導(dǎo)數(shù)可求得其單調(diào)區(qū)間，然后用定義證明即可；
（3）由（2）可知f（x）在上的單調(diào)性，據(jù)單調(diào)性即可求得其最值；
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性及其應(yīng)用，考查函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力．