Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且2nS_n+1-2（n+1）S_n=n（n+1）（n∈N^*）．數列{b_n}滿足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*）．b₃=5，其前9項和為63．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）令c_n=

bn

an

+

an

bn

，數列{c_n}的前n項和為T_n，證明：

4

3

≤T_n-2n＜3．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列,不等式的解法及應用

分析：（1）由2nS_n+1-2（n+1）S_n=n（n+1）得數列{

Sn

n

}是首項為1，公差為

1

2

的等差數列，然后由等差數列的通項公式求得Sn=

n(n+1)

2

，進一步求得數列{a_n}的通項公式，由b_n+2-2b_n+1+b_n=0可得數列{b_n}是等差數列，由已知求出公差，則數列{b_n}的通項公式可求；
（2）由（1）知，c_n=

bn

an

+

an

bn

=

n+2

n

+

n

n+2

=2+2(

1

n

-

1

n+2

)，然后利用錯位相減法求出Tn-2n=3-2(

1

n+1

+

1

n+2

)，設A_n=T_n-2n，則An=3-2(

1

n+1

+

1

n+2

)，利用作差法證明{A_n}單調遞增，故(An)min=A1=

4

3

，再由An=3-2(

1

n+1

+

1

n+2

)＜3可證答案．

解答： （1）解：由2nS_n+1-2（n+1）S_n=n（n+1），得

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=

1

2

，
∴數列{

Sn

n

}是首項為1，公差為

1

2

的等差數列，
因此

Sn

n

=S1+

1

2

(n-1)=1+

1

2

(n-1)=

n+1

2

，
∴Sn=

n(n+1)

2

．
于是an+1=Sn+1-Sn=

(n+1)(n+2)

2

-

n(n+1)

2

=n+1，
又a₁=1，∴a_n=n．
∵b_n+2-2b_n+1+b_n=0，∴數列{b_n}是等差數列，
由S9=

9(b3+b7)

2

=63，b₃=5，得b₇=9．
∴d=

9-5

7-3

=1．
∴b_n=b₃+（n-3）×1=n+2；
（2）證明：由（1）知，c_n=

bn

an

+

an

bn

=

n+2

n

+

n

n+2

=2+2(

1

n

-

1

n+2

)，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=2n+2(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

)
=2n+(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=3-2(

1

n+1

+

1

n+2

)+2n．
∴Tn-2n=3-2(

1

n+1

+

1

n+2

)．
設A_n=T_n-2n，則An=3-2(

1

n+1

+

1

n+2

)．
又∵An+1-An=3-2(

1

n+2

+

1

n+3

)-[3-2(

1

n+1

+

1

n+2

)]
=2(

1

n+1

-

1

n+3

)-

4

(n+1)(n+3)

＞0．
∴{A_n}單調遞增，故(An)min=A1=

4

3

．
而An=3-2(

1

n+1

+

1

n+2

)＜3．
故有

4

3

≤An＜3．

點評：本題考查了數列遞推式，考查了等差關系的確定，訓練了裂項相消法求數列的前n項和，考查了放縮法證明數列不等式，是壓軸題．