Question

已知函數y=f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）要使f（x）在（0，2）上單調遞增，試求a的取值范圍；
（2）當a＜0時，若函數滿足y_極大值=1，y_極小值=-3，試求函數y=f（x）的解析式．

Answer 1

解：（1）f'（x）=-3x²+2ax，要使f（x）在（0，2）上單調遞增，
則f'（x）≥0在（0，2）上恒成立．
即，
∴a≥3．
（2）令f′（x）=-3x²+2ax=0，得x₁=0，x₂=a．
∵a＜0，
∴y_極大值=f（0）=b=1，
y_極小值=f（a）=-a³+a³+1=-3，
∴a=-3，
∴f（x）=-x³-3x²+1．
分析：（1）要使f（x）在（0，2）上單調遞增，則f'（x）≥0在（0，2）上恒成立，由此可求得a的取值范圍；
（2）令f′（x）=-3x²+2ax=0，求得極大值點與極小值點，結合足y_極大值=1，y_極小值=-3，可求得a，b的值，從而求得函數y=f（x）的解析式．
點評：本題考查函數在某點取得極值的條件，著重考查二次函數在區(qū)間上的恒成立問題與導數單調性與極值之間的關系，屬于中檔題．