Question

11．如圖，四邊形DCBE為直角梯形，∠DCB=90°，DE∥CB，BC=2，又AC=CD=DE=1，ACB=120°，CD⊥AB．
（Ⅰ）求證：平面BCD⊥平面ABC；
（Ⅱ）若F是AB的點，求證：EF∥平面ACD；
（Ⅲ）求直線AE與平面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用線線垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)一步得到面面垂直．
（Ⅱ）首先根據(jù)中位線定理得到，直線的平行，進(jìn)一步得到四邊形DGFE是平行四邊形，最后求出結(jié)論．
（Ⅲ）利用幾何法首先做出平面BCD的垂線，進(jìn)一步求出∠AEH是直線AE與平面BCD的夾角，最后通過解直角三角形得出結(jié)論．

解答 證明：（Ⅰ）四邊形DCBE為直角梯形，∠DCB=90°，
所以：DC⊥BC，
由于：CD⊥AB，
所以：CD⊥平面ABC．
所以：平面BCD⊥平面ABC．
（Ⅱ）取AC的中點G，連接DG和GF，由于DE∥CB，BC=2，又AC=CD=DE=1，F(xiàn)是AB的點，
所以：GF=ED，GF∥DE，
所以：四邊形DGFE為平行四邊形．
則：EF∥GD，
GD?平面ACD，EF?平面ACD，
所以：EF∥平面ACD．
（Ⅲ）在平面ABC內(nèi)延長BC交過A點作BC的垂線于H，連接HE，過E點作EK⊥BC，交BC于K，
所以：CD⊥AH，
AH⊥BC，
則：AH⊥平面DCBE，
所以：∠AEH就是直線AE與平面BCD所成的角，
∠ACB=120°，AC=CD=DE=1，
解得：AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CH=$\frac{1}{2}$，CK=1，則：HK=$\frac{3}{2}$，
利用勾股定理：EH²=EK²+HK²
解得：EH=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
所以：在Rt△AHE中，$tan∠AEH=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{13}}{2}}$=$\frac{\sqrt{39}}{13}$，
即：sin∠AEH=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查的知識要點：面面垂直的判定定理，線面垂直的性質(zhì)定理，線面平行的判定定理，直線與平面的夾角的應(yīng)用，及相關(guān)的運算問題，主要考查學(xué)生的空間想象能力．