Question

在△ABC中，BC=a，AC=b，不等式x²-2

3

x+2≤0的解集為{x|a≤x≤b}，且2cos（A+B）=1．求：
（1）角C的度數(shù)；        
（2）AB的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）已知等式左邊利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求出cosC的值，即可確定出C的度數(shù)；
（2）由不等式的解集，利用韋達(dá)定理求出a+b，ab的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，將cosC，a+b，ab的值代入計(jì)算即可求出c的值．

解答： 解：（1）∵2cos（A+B）=-2cosC=1，
∴cosC=-

1

2

，
則C=120°；
（2）∵在△ABC中，BC=a，AC=b，不等式x²-2

3

x+2≤0的解集為{x|a≤x≤b}，
∴a+b=2

3

，ab=2，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²+ab=（a+b）²-ab=12-2=10，
則AB=c=

10

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，韋達(dá)定理，以及誘導(dǎo)公式的作用，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．