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已知點G是△ABO的重心，M是AB邊的中點．且
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OP
=m
a
，
OQ
=n
b
，求證：
1
m
+
1
n
=3．
分析：先確定
OM
=
1
2
(
a
+
b
)，
OG
=
1
3
(
a
+
b
)，根據PQ過△ABO的重心G，可得
PG
=λ
GQ
，利用平面向量基本定理，即可得到結論．
解答：證明：∵
OA
=
a
，
OB
=
b
，M是AB邊的中點
∴
OM
=
1
2
(
a
+
b
)
∵點G是△ABO的重心，∴
OG
=
1
3
(
a
+
b
)
∵PQ過△ABO的重心G，∴
PG
=λ
GQ

∴
1
3
(
a
+
b
)-m
a
=n
b
-
1
3
(
a
+
b
)
∵
a
，
b
不共線
∴
1
3
-m=-
1
3
λ
1
3
=λ(n-
1
3
)

消去λ，可得3mn=m+n
∴
1
m
+
1
n
=3．
點評：本題考查向量知識的運用，考查平面向量基本定理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖所示，已知點G是△ABO的重心．
（1）求
GA
+
GB
+
GO
；
（2）若PQ過△ABO的重心G，且
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OP
=m
a
，
OQ
=n
b
，求證：
1
m
+
1
n
=3．

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科目：高中數學 來源：聊城一中高三數學測試——平面向量 題型：044

如圖，已知點G是△ABO的重心，

(Ⅰ)求＋＋；

(Ⅱ)若PQ過△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，

求證：．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知點G是△ABO的重心，M是AB邊的中點．若PQ過△ABO的重心G，且數學公式=a，數學公式=b，數學公式=ma，數學公式=nb，求證：數學公式+數學公式=3．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年安徽省巢湖市無為縣開城中學高三（上）第三次月考數學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知點G是△ABO的重心，M是AB邊的中點．且=，=，=m，=n，求證：+=3．

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