Question

已知拋物線(xiàn)y²=4x與雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）有相同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A，B是兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)，若（

OA

+

OB

）•

AF

=0，則雙曲線(xiàn)的離心率為（　�。�

• A、

  2

  +2
• B、

  5

  +1
• C、

  3

  +1
• D、

  2

  +1

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)（1，0），即有雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，設(shè)A（m，n），B（m，-n）（m＞0，n＞0），運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義可得m=1，n=2，再由雙曲線(xiàn)的定義可得a，運(yùn)用離心率公式計(jì)算即可得到．

解答： 解：由拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），
可得雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為F（1，0）和F'（-1，0），
設(shè)A（m，n），B（m，-n）（m＞0，n＞0），
則

AF

=（1-m，-n），
由（

OA

+

OB

）•

AF

=0，
即為2m（1-m）+0=0，
解得m=1（0舍去），
即有A（1，2），
由雙曲線(xiàn)的定義可得|AF'|-|AF|=2a，
即為2

2

-2=2a，
即a=

2

-1，
由e=

c

a

=

1

2 -1

=

2

+1．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線(xiàn)和雙曲線(xiàn)的定義、方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線(xiàn)的定義和離心率的求法，同時(shí)考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于中檔題．