Question

已知函數(shù)f（x）=-alnx（a∈R），若函數(shù)f（x）在[1，2]為增函數(shù)，且f′（x）在[1，2]上存在零點(diǎn)（f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)），則a的值為_(kāi)_______．

Answer 1

1
分析：利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟是①求導(dǎo)函數(shù)f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函數(shù)的增區(qū)間（或減區(qū)間），得到a≤x²，在[1，2]上恒成立，從而有a≤1．再利用f′（x）在[1，2]上存在零點(diǎn)，得出a≥1，兩者結(jié)合即可求出a的值．
解答：∵函數(shù)f（x）=-alnx（a∈R），
∴f′（x）=x-，
∵函數(shù)f（x）在[1，2]為增函數(shù)，
∴x-≥0在[1，2]上恒成立，
即a≤x²，在[1，2]上恒成立，∴a≤1．
∵且f′（x）在[1，2]上存在零點(diǎn)，
∴存在x∈[1，2]，使得x-=0成立，
即存在x∈[1，2]，使得a=x²
∴a≥1，
∴a=1．
故答案為：1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、函數(shù)的零點(diǎn)等基本知識(shí)，考查了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．